-6*x+6*y-z=0 -4*x+6*y-2*z=2 -x+2*y-z=0
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
-6*x + 6*y - z = 0
$$- z + - 6 x + 6 y = 0$$
-4*x + 6*y - 2*z = 2
$$- 2 z + - 4 x + 6 y = 2$$
-x + 2*y - z = 0
$$- z + - x + 2 y = 0$$
Быстрый ответ
[LaTeX]
$$x_{1} = 4$$
=
$$4$$
=
$$z_{1} = 6$$
=
$$6$$
=
$$y_{1} = 5$$
=
$$5$$
=
=
$$4$$
=
4
$$z_{1} = 6$$
=
$$6$$
=
6
$$y_{1} = 5$$
=
$$5$$
=
5
Метод Крамера
[LaTeX]
$$- z + - 6 x + 6 y = 0$$
$$- 2 z + - 4 x + 6 y = 2$$
$$- z + - x + 2 y = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 6 x + 6 y - z = 0$$
$$- 4 x + 6 y - 2 z = 2$$
$$- x + 2 y - z = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- x_{3} + - 6 x_{1} + 6 x_{2}\\- 2 x_{3} + - 4 x_{1} + 6 x_{2}\\- x_{3} + - x_{1} + 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\2\\0\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-6 & 6 & -1\\-4 & 6 & -2\\-1 & 2 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & 6 & -1\\2 & 6 & -2\\0 & 2 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-6 & 0 & -1\\-4 & 2 & -2\\-1 & 0 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-6 & 6 & 0\\-4 & 6 & 2\\-1 & 2 & 0\end{matrix}\right] \right )} = 6$$
$$- 2 z + - 4 x + 6 y = 2$$
$$- z + - x + 2 y = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 6 x + 6 y - z = 0$$
$$- 4 x + 6 y - 2 z = 2$$
$$- x + 2 y - z = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- x_{3} + - 6 x_{1} + 6 x_{2}\\- 2 x_{3} + - 4 x_{1} + 6 x_{2}\\- x_{3} + - x_{1} + 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\2\\0\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-6 & 6 & -1\\-4 & 6 & -2\\-1 & 2 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & 6 & -1\\2 & 6 & -2\\0 & 2 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-6 & 0 & -1\\-4 & 2 & -2\\-1 & 0 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-6 & 6 & 0\\-4 & 6 & 2\\-1 & 2 & 0\end{matrix}\right] \right )} = 6$$
Метод Гаусса
[LaTeX]
Дана система ур-ний
$$- z + - 6 x + 6 y = 0$$
$$- 2 z + - 4 x + 6 y = 2$$
$$- z + - x + 2 y = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 6 x + 6 y - z = 0$$
$$- 4 x + 6 y - 2 z = 2$$
$$- x + 2 y - z = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-6 & 6 & -1 & 0\\-4 & 6 & -2 & 2\\-1 & 2 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-6\\-4\\-1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-6 & 6 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & -2 - - \frac{2}{3} & 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 2 & - \frac{4}{3} & 2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-6 & 6 & -1 & 0\\0 & 2 & - \frac{4}{3} & 2\\-1 & 2 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1 - - \frac{1}{6} & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & - \frac{5}{6} & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-6 & 6 & -1 & 0\\0 & 2 & - \frac{4}{3} & 2\\0 & 1 & - \frac{5}{6} & 0\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}6\\2\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & - \frac{4}{3} & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-6 & 0 & 3 & -6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-6 & 0 & 3 & -6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-6 & 0 & 3 & -6\\0 & 2 & - \frac{4}{3} & 2\\0 & 1 & - \frac{5}{6} & 0\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{5}{6} - - \frac{2}{3} & -1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{1}{6} & -1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-6 & 0 & 3 & -6\\0 & 2 & - \frac{4}{3} & 2\\0 & 0 & - \frac{1}{6} & -1\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\- \frac{4}{3}\\- \frac{1}{6}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{1}{6} & -1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-6 & 0 & 0 & -24\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-6 & 0 & 0 & -24\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-6 & 0 & 0 & -24\\0 & 2 & - \frac{4}{3} & 2\\0 & 0 & - \frac{1}{6} & -1\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & - \frac{4}{3} - - \frac{4}{3} & 10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 2 & 0 & 10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-6 & 0 & 0 & -24\\0 & 2 & 0 & 10\\0 & 0 & - \frac{1}{6} & -1\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 6 x_{1} + 24 = 0$$
$$2 x_{2} - 10 = 0$$
$$- \frac{x_{3}}{6} + 1 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{3} = 6$$
$$- z + - 6 x + 6 y = 0$$
$$- 2 z + - 4 x + 6 y = 2$$
$$- z + - x + 2 y = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 6 x + 6 y - z = 0$$
$$- 4 x + 6 y - 2 z = 2$$
$$- x + 2 y - z = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-6 & 6 & -1 & 0\\-4 & 6 & -2 & 2\\-1 & 2 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-6\\-4\\-1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-6 & 6 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & -2 - - \frac{2}{3} & 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 2 & - \frac{4}{3} & 2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-6 & 6 & -1 & 0\\0 & 2 & - \frac{4}{3} & 2\\-1 & 2 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1 - - \frac{1}{6} & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & - \frac{5}{6} & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-6 & 6 & -1 & 0\\0 & 2 & - \frac{4}{3} & 2\\0 & 1 & - \frac{5}{6} & 0\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}6\\2\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & - \frac{4}{3} & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-6 & 0 & 3 & -6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-6 & 0 & 3 & -6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-6 & 0 & 3 & -6\\0 & 2 & - \frac{4}{3} & 2\\0 & 1 & - \frac{5}{6} & 0\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{5}{6} - - \frac{2}{3} & -1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{1}{6} & -1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-6 & 0 & 3 & -6\\0 & 2 & - \frac{4}{3} & 2\\0 & 0 & - \frac{1}{6} & -1\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\- \frac{4}{3}\\- \frac{1}{6}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{1}{6} & -1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-6 & 0 & 0 & -24\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-6 & 0 & 0 & -24\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-6 & 0 & 0 & -24\\0 & 2 & - \frac{4}{3} & 2\\0 & 0 & - \frac{1}{6} & -1\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & - \frac{4}{3} - - \frac{4}{3} & 10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 2 & 0 & 10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-6 & 0 & 0 & -24\\0 & 2 & 0 & 10\\0 & 0 & - \frac{1}{6} & -1\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 6 x_{1} + 24 = 0$$
$$2 x_{2} - 10 = 0$$
$$- \frac{x_{3}}{6} + 1 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{3} = 6$$
Численный ответ
[LaTeX]
x1 = 4.00000000000000 y1 = 5.00000000000000 z1 = 6.00000000000000