x*7/5+x*6/5+x*4/5+x*8/5-y*8/5-7*y/5=-1 16*y/5+7*y/5+8*y/5+4*y/5-7*x/5-8*x/5=-15
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
x*7 x*6 x*4 x*8 y*8 7*y --- + --- + --- + --- - --- - --- = -1 5 5 5 5 5 5
$$- \frac{7 y}{5} + - \frac{8 y}{5} + \frac{8 x}{5} + \frac{4 x}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{7 x}{5} = -1$$
16*y 7*y 8*y 4*y 7*x 8*x ---- + --- + --- + --- - --- - --- = -15 5 5 5 5 5 5
$$- \frac{8 x}{5} + - \frac{7 x}{5} + \frac{4 y}{5} + \frac{8 y}{5} + \frac{7 y}{5} + \frac{16 y}{5} = -15$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$- \frac{7 y}{5} + - \frac{8 y}{5} + \frac{8 x}{5} + \frac{4 x}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{7 x}{5} = -1$$
$$- \frac{8 x}{5} + - \frac{7 x}{5} + \frac{4 y}{5} + \frac{8 y}{5} + \frac{7 y}{5} + \frac{16 y}{5} = -15$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$- \frac{7 y}{5} + - \frac{8 y}{5} + \frac{8 x}{5} + \frac{4 x}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{7 x}{5} = -1$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{4 x}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{7 x}{5} + \frac{8 x}{5} - \frac{8 y}{5} + 3 y - \frac{7 y}{5} = - \frac{8 x}{5} - \frac{7 x}{5} - \frac{6 x}{5} - \frac{4 x}{5} - - 5 x - - \frac{8 y}{5} - - \frac{7 y}{5} - 1$$
$$5 x = 3 y - 1$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5} \left(3 y - 1\right)$$
$$x = \frac{3 y}{5} - \frac{1}{5}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- \frac{8 x}{5} + - \frac{7 x}{5} + \frac{4 y}{5} + \frac{8 y}{5} + \frac{7 y}{5} + \frac{16 y}{5} = -15$$
Получим:
$$- \frac{24 y}{25} - \frac{8}{25} + - \frac{21 y}{25} - \frac{7}{25} + \frac{4 y}{5} + \frac{8 y}{5} + \frac{7 y}{5} + \frac{16 y}{5} = -15$$
$$\frac{26 y}{5} + \frac{3}{5} = -15$$
Перенесем свободное слагаемое 3/5 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{26 y}{5} = - \frac{78}{5}$$
$$\frac{26 y}{5} = - \frac{78}{5}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{26}{5} y}{\frac{26}{5}} = -3$$
$$y = -3$$
Т.к.
$$x = \frac{3 y}{5} - \frac{1}{5}$$
то
$$x = \frac{-9}{5} - \frac{1}{5}$$
$$x = -2$$
Ответ:
$$x = -2$$
$$y = -3$$
$$- \frac{7 y}{5} + - \frac{8 y}{5} + \frac{8 x}{5} + \frac{4 x}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{7 x}{5} = -1$$
$$- \frac{8 x}{5} + - \frac{7 x}{5} + \frac{4 y}{5} + \frac{8 y}{5} + \frac{7 y}{5} + \frac{16 y}{5} = -15$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$- \frac{7 y}{5} + - \frac{8 y}{5} + \frac{8 x}{5} + \frac{4 x}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{7 x}{5} = -1$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{4 x}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{7 x}{5} + \frac{8 x}{5} - \frac{8 y}{5} + 3 y - \frac{7 y}{5} = - \frac{8 x}{5} - \frac{7 x}{5} - \frac{6 x}{5} - \frac{4 x}{5} - - 5 x - - \frac{8 y}{5} - - \frac{7 y}{5} - 1$$
$$5 x = 3 y - 1$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5} \left(3 y - 1\right)$$
$$x = \frac{3 y}{5} - \frac{1}{5}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- \frac{8 x}{5} + - \frac{7 x}{5} + \frac{4 y}{5} + \frac{8 y}{5} + \frac{7 y}{5} + \frac{16 y}{5} = -15$$
Получим:
$$- \frac{24 y}{25} - \frac{8}{25} + - \frac{21 y}{25} - \frac{7}{25} + \frac{4 y}{5} + \frac{8 y}{5} + \frac{7 y}{5} + \frac{16 y}{5} = -15$$
$$\frac{26 y}{5} + \frac{3}{5} = -15$$
Перенесем свободное слагаемое 3/5 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{26 y}{5} = - \frac{78}{5}$$
$$\frac{26 y}{5} = - \frac{78}{5}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{26}{5} y}{\frac{26}{5}} = -3$$
$$y = -3$$
Т.к.
$$x = \frac{3 y}{5} - \frac{1}{5}$$
то
$$x = \frac{-9}{5} - \frac{1}{5}$$
$$x = -2$$
Ответ:
$$x = -2$$
$$y = -3$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=
$$y_{1} = -3$$
=
$$-3$$
=
=
$$-2$$
=
-2
$$y_{1} = -3$$
=
$$-3$$
=
-3
Метод Крамера
[TeX]
$$- \frac{7 y}{5} + - \frac{8 y}{5} + \frac{8 x}{5} + \frac{4 x}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{7 x}{5} = -1$$
$$- \frac{8 x}{5} + - \frac{7 x}{5} + \frac{4 y}{5} + \frac{8 y}{5} + \frac{7 y}{5} + \frac{16 y}{5} = -15$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x - 3 y = -1$$
$$- 3 x + 7 y = -15$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 x_{1} - 3 x_{2}\\- 3 x_{1} + 7 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1\\-15\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & -3\\-3 & 7\end{matrix}\right] \right )} = 26$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{26} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-1 & -3\\-15 & 7\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
$$x_{2} = \frac{1}{26} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & -1\\-3 & -15\end{matrix}\right] \right )} = -3$$
$$- \frac{8 x}{5} + - \frac{7 x}{5} + \frac{4 y}{5} + \frac{8 y}{5} + \frac{7 y}{5} + \frac{16 y}{5} = -15$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x - 3 y = -1$$
$$- 3 x + 7 y = -15$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 x_{1} - 3 x_{2}\\- 3 x_{1} + 7 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1\\-15\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & -3\\-3 & 7\end{matrix}\right] \right )} = 26$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{26} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-1 & -3\\-15 & 7\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
$$x_{2} = \frac{1}{26} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & -1\\-3 & -15\end{matrix}\right] \right )} = -3$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$- \frac{7 y}{5} + - \frac{8 y}{5} + \frac{8 x}{5} + \frac{4 x}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{7 x}{5} = -1$$
$$- \frac{8 x}{5} + - \frac{7 x}{5} + \frac{4 y}{5} + \frac{8 y}{5} + \frac{7 y}{5} + \frac{16 y}{5} = -15$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x - 3 y = -1$$
$$- 3 x + 7 y = -15$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 & -3 & -1\\-3 & 7 & -15\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}5 & -3 & -1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{9}{5} + 7 & -15 - \frac{3}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{26}{5} & - \frac{78}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & -3 & -1\\0 & \frac{26}{5} & - \frac{78}{5}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\\frac{26}{5}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{26}{5} & - \frac{78}{5}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & -10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & -10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & -10\\0 & \frac{26}{5} & - \frac{78}{5}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$5 x_{1} + 10 = 0$$
$$\frac{26 x_{2}}{5} + \frac{78}{5} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -3$$
$$- \frac{7 y}{5} + - \frac{8 y}{5} + \frac{8 x}{5} + \frac{4 x}{5} + \frac{6 x}{5} + \frac{7 x}{5} = -1$$
$$- \frac{8 x}{5} + - \frac{7 x}{5} + \frac{4 y}{5} + \frac{8 y}{5} + \frac{7 y}{5} + \frac{16 y}{5} = -15$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x - 3 y = -1$$
$$- 3 x + 7 y = -15$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 & -3 & -1\\-3 & 7 & -15\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}5 & -3 & -1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{9}{5} + 7 & -15 - \frac{3}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{26}{5} & - \frac{78}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & -3 & -1\\0 & \frac{26}{5} & - \frac{78}{5}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\\frac{26}{5}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{26}{5} & - \frac{78}{5}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & -10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & -10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & -10\\0 & \frac{26}{5} & - \frac{78}{5}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$5 x_{1} + 10 = 0$$
$$\frac{26 x_{2}}{5} + \frac{78}{5} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -3$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = -2.00000000000000 y1 = -3.00000000000000