Дана система ур-ний $$7 x + y = 2$$ $$- 7 x + 3 y = 4$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$7 x + y = 2$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$7 x = - y + 2$$ $$7 x = - y + 2$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7} \left(- y + 2\right)$$ $$x = - \frac{y}{7} + \frac{2}{7}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$- 7 x + 3 y = 4$$ Получим: $$3 y - - y + 2 = 4$$ $$4 y - 2 = 4$$ Перенесем свободное слагаемое -2 из левой части в правую со сменой знака $$4 y = 6$$ $$4 y = 6$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{4 y}{4} = \frac{3}{2}$$ $$y = \frac{3}{2}$$ Т.к. $$x = - \frac{y}{7} + \frac{2}{7}$$ то $$x = - \frac{3}{14} + \frac{2}{7}$$ $$x = \frac{1}{14}$$
Ответ: $$x = \frac{1}{14}$$ $$y = \frac{3}{2}$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = \frac{1}{14}$$ = $$\frac{1}{14}$$ =
0.0714285714285714
$$y_{1} = \frac{3}{2}$$ = $$\frac{3}{2}$$ =
1.5
Метод Крамера
$$7 x + y = 2$$ $$- 7 x + 3 y = 4$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$7 x + y = 2$$ $$- 7 x + 3 y = 4$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}7 x_{1} + x_{2}\\- 7 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 1\\-7 & 3\end{matrix}\right] \right )} = 28$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = \frac{1}{28} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1\\4 & 3\end{matrix}\right] \right )} = \frac{1}{14}$$ $$x_{2} = \frac{1}{28} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 2\\-7 & 4\end{matrix}\right] \right )} = \frac{3}{2}$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$7 x + y = 2$$ $$- 7 x + 3 y = 4$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$7 x + y = 2$$ $$- 7 x + 3 y = 4$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}7 & 1 & 2\\-7 & 3 & 4\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}7\\-7\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}7 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & 4 & 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 4 & 6\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}7 & 1 & 2\\0 & 4 & 6\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & 4 & 6\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}7 & 0 & - \frac{3}{2} + 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}7 & 0 & \frac{1}{2}\\0 & 4 & 6\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$7 x_{1} - \frac{1}{2} = 0$$ $$4 x_{2} - 6 = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = \frac{1}{14}$$ $$x_{2} = \frac{3}{2}$$