y+7*x=2 3*y-7*x=4

Вы ввели

[LaTeX]

y + 7*x = 2

$$7 x + y = 2$$

3*y - 7*x = 4

$$- 7 x + 3 y = 4$$

Подробное решение

[LaTeX]

Дана система ур-ний
$$7 x + y = 2$$
$$- 7 x + 3 y = 4$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$7 x + y = 2$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$7 x = - y + 2$$
$$7 x = - y + 2$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7} \left(- y + 2\right)$$
$$x = - \frac{y}{7} + \frac{2}{7}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- 7 x + 3 y = 4$$
Получим:
$$3 y - - y + 2 = 4$$
$$4 y - 2 = 4$$
Перенесем свободное слагаемое -2 из левой части в правую со сменой знака
$$4 y = 6$$
$$4 y = 6$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{4 y}{4} = \frac{3}{2}$$
$$y = \frac{3}{2}$$
Т.к.
$$x = - \frac{y}{7} + \frac{2}{7}$$
то
$$x = - \frac{3}{14} + \frac{2}{7}$$
$$x = \frac{1}{14}$$

Ответ:
$$x = \frac{1}{14}$$
$$y = \frac{3}{2}$$

Быстрый ответ

[LaTeX]

$$x_{1} = \frac{1}{14}$$
=
$$\frac{1}{14}$$
=

0.0714285714285714

$$y_{1} = \frac{3}{2}$$
=
$$\frac{3}{2}$$
=

1.5

Метод Крамера

[LaTeX]

$$7 x + y = 2$$
$$- 7 x + 3 y = 4$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x + y = 2$$
$$- 7 x + 3 y = 4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 x_{1} + x_{2}\\- 7 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 1\\-7 & 3\end{matrix}\right] \right )} = 28$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{28} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1\\4 & 3\end{matrix}\right] \right )} = \frac{1}{14}$$
$$x_{2} = \frac{1}{28} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 2\\-7 & 4\end{matrix}\right] \right )} = \frac{3}{2}$$

Метод Гаусса

[LaTeX]

Дана система ур-ний
$$7 x + y = 2$$
$$- 7 x + 3 y = 4$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x + y = 2$$
$$- 7 x + 3 y = 4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 & 1 & 2\\-7 & 3 & 4\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}7\\-7\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}7 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 4 & 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 4 & 6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 1 & 2\\0 & 4 & 6\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 4 & 6\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & - \frac{3}{2} + 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & \frac{1}{2}\\0 & 4 & 6\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$7 x_{1} - \frac{1}{2} = 0$$
$$4 x_{2} - 6 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{1}{14}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$

Численный ответ

[LaTeX]

x1 = 0.07142857142857143
y1 = 1.50000000000000