2*x-y=10 x-y=2

Вы ввели

2*x - y = 10

$$2 x - y = 10$$

x - y = 2

$$x - y = 2$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$2 x - y = 10$$
$$x - y = 2$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x - y = 10$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = - -1 y + 10$$
$$2 x = y + 10$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(y + 10\right)$$
$$x = \frac{y}{2} + 5$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$x - y = 2$$
Получим:
$$- y + \frac{y}{2} + 5 = 2$$
$$- \frac{y}{2} + 5 = 2$$
Перенесем свободное слагаемое 5 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{y}{2} = -3$$
$$- \frac{y}{2} = -3$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{1}{2} y}{- \frac{1}{2}} = 6$$
$$y = 6$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{2} + 5$$
то
$$x = \frac{6}{2} + 5$$
$$x = 8$$

Ответ:
$$x = 8$$
$$y = 6$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 8$$
=
$$8$$
=

8

$$y_{1} = 6$$
=
$$6$$
=

6

Метод Крамера

$$2 x - y = 10$$
$$x - y = 2$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - y = 10$$
$$x - y = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} - x_{2}\\x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -1\\1 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}10 & -1\\2 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 8$$
$$x_{2} = - \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 10\\1 & 2\end{matrix}\right] \right )} = 6$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$2 x - y = 10$$
$$x - y = 2$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - y = 10$$
$$x - y = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & 10\\1 & -1 & 2\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & 10\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 - - \frac{1}{2} & -3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{2} & -3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & 10\\0 & - \frac{1}{2} & -3\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\- \frac{1}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{2} & -3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 16\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 16\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 16\\0 & - \frac{1}{2} & -3\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - 16 = 0$$
$$- \frac{x_{2}}{2} + 3 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = 6$$

Численный ответ

x1 = 8.00000000000000
y1 = 6.00000000000000