x1-x2+x3-x5=0 3*x1+x2+2*x3-x4=4 x2+2*x4-x5=1 x1+x3+2*x4-2*x5=1
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
x1 - x2 + x3 - x5 = 0
$$- x_{5} + x_{3} + x_{1} - x_{2} = 0$$
3*x1 + x2 + 2*x3 - x4 = 4
$$- x_{4} + 2 x_{3} + 3 x_{1} + x_{2} = 4$$
x2 + 2*x4 - x5 = 1
$$- x_{5} + x_{2} + 2 x_{4} = 1$$
x1 + x3 + 2*x4 - 2*x5 = 1
$$- 2 x_{5} + 2 x_{4} + x_{1} + x_{3} = 1$$
Быстрый ответ
[LaTeX]
$$x_{31} = - 9 x_{4} + 7 x_{5}$$
=
$$- 9 x_{4} + 7 x_{5}$$
=
$$x_{11} = 7 x_{4} - 5 x_{5} + 1$$
=
$$7 x_{4} - 5 x_{5} + 1$$
=
$$x_{21} = - 2 x_{4} + x_{5} + 1$$
=
$$- 2 x_{4} + x_{5} + 1$$
=
=
$$- 9 x_{4} + 7 x_{5}$$
=
7*x5 - 9*x4
$$x_{11} = 7 x_{4} - 5 x_{5} + 1$$
=
$$7 x_{4} - 5 x_{5} + 1$$
=
1 + 7*x4 - 5*x5
$$x_{21} = - 2 x_{4} + x_{5} + 1$$
=
$$- 2 x_{4} + x_{5} + 1$$
=
1 + x5 - 2*x4
Метод Гаусса
[LaTeX]
Дана система ур-ний
$$- x_{5} + x_{3} + x_{1} - x_{2} = 0$$
$$- x_{4} + 2 x_{3} + 3 x_{1} + x_{2} = 4$$
$$- x_{5} + x_{2} + 2 x_{4} = 1$$
$$- 2 x_{5} + 2 x_{4} + x_{1} + x_{3} = 1$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{5} = 0$$
$$3 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} - x_{4} = 4$$
$$x_{2} + 2 x_{4} - x_{5} = 1$$
$$x_{1} + x_{3} + 2 x_{4} - 2 x_{5} = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0\\3 & 1 & 2 & -1 & 0 & 4\\0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\\1 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\3\\0\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 4 & -1 & -1 & 3 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 4 & -1 & -1 & 3 & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0\\0 & 4 & -1 & -1 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\\1 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0\\0 & 4 & -1 & -1 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\\0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\4\\1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\\0 & 4 & -1 & -1 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\\0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -1 & -9 & 7 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -1 & -9 & 7 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\\0 & 0 & -1 & -9 & 7 & 0\\0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\\0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\\0 & 0 & -1 & -9 & 7 & 0\\0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-1\\0\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -1 & -9 & 7 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -7 & 5 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -7 & 5 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -7 & 5 & 1\\0 & 0 & -1 & -9 & 7 & 0\\0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 7 x_{4} + 5 x_{5} - 1 = 0$$
$$- x_{3} - 9 x_{4} + 7 x_{5} = 0$$
$$x_{2} + 2 x_{4} - x_{5} - 1 = 0$$
$$0 - 0 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 7 x_{4} - 5 x_{5} + 1$$
$$x_{3} = - 9 x_{4} + 7 x_{5}$$
$$x_{2} = - 2 x_{4} + x_{5} + 1$$
где x4, x5 - свободные переменные
$$- x_{5} + x_{3} + x_{1} - x_{2} = 0$$
$$- x_{4} + 2 x_{3} + 3 x_{1} + x_{2} = 4$$
$$- x_{5} + x_{2} + 2 x_{4} = 1$$
$$- 2 x_{5} + 2 x_{4} + x_{1} + x_{3} = 1$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{5} = 0$$
$$3 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} - x_{4} = 4$$
$$x_{2} + 2 x_{4} - x_{5} = 1$$
$$x_{1} + x_{3} + 2 x_{4} - 2 x_{5} = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0\\3 & 1 & 2 & -1 & 0 & 4\\0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\\1 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\3\\0\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 4 & -1 & -1 & 3 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 4 & -1 & -1 & 3 & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0\\0 & 4 & -1 & -1 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\\1 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0\\0 & 4 & -1 & -1 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\\0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\4\\1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\\0 & 4 & -1 & -1 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\\0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -1 & -9 & 7 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -1 & -9 & 7 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\\0 & 0 & -1 & -9 & 7 & 0\\0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\\0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\\0 & 0 & -1 & -9 & 7 & 0\\0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-1\\0\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -1 & -9 & 7 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -7 & 5 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -7 & 5 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -7 & 5 & 1\\0 & 0 & -1 & -9 & 7 & 0\\0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 7 x_{4} + 5 x_{5} - 1 = 0$$
$$- x_{3} - 9 x_{4} + 7 x_{5} = 0$$
$$x_{2} + 2 x_{4} - x_{5} - 1 = 0$$
$$0 - 0 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 7 x_{4} - 5 x_{5} + 1$$
$$x_{3} = - 9 x_{4} + 7 x_{5}$$
$$x_{2} = - 2 x_{4} + x_{5} + 1$$
где x4, x5 - свободные переменные