2*x+y-3*z=-1 x-3*y+2*z=10 3*x-4*y-z=5

Вы ввели

2*x + y - 3*z = -1

$$- 3 z + 2 x + y = -1$$

x - 3*y + 2*z = 10

$$2 z + x - 3 y = 10$$

3*x - 4*y - z = 5

$$- z + 3 x - 4 y = 5$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 6$$
=
$$6$$
=

6

$$z_{1} = 5$$
=
$$5$$
=

5

$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

Метод Крамера

$$- 3 z + 2 x + y = -1$$
$$2 z + x - 3 y = 10$$
$$- z + 3 x - 4 y = 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + y - 3 z = -1$$
$$x - 3 y + 2 z = 10$$
$$3 x - 4 y - z = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 3 x_{3} + 2 x_{1} + x_{2}\\2 x_{3} + x_{1} - 3 x_{2}\\- x_{3} + 3 x_{1} - 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1\\10\\5\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1 & -3\\1 & -3 & 2\\3 & -4 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 14$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{14} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-1 & 1 & -3\\10 & -3 & 2\\5 & -4 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 6$$
$$x_{2} = \frac{1}{14} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -1 & -3\\1 & 10 & 2\\3 & 5 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{3} = \frac{1}{14} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1 & -1\\1 & -3 & 10\\3 & -4 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 5$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$- 3 z + 2 x + y = -1$$
$$2 z + x - 3 y = 10$$
$$- z + 3 x - 4 y = 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + y - 3 z = -1$$
$$x - 3 y + 2 z = 10$$
$$3 x - 4 y - z = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & -3 & -1\\1 & -3 & 2 & 10\\3 & -4 & -1 & 5\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\1\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & -3 & -1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 - \frac{1}{2} & - \frac{-3}{2} + 2 & - \frac{-1}{2} + 10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & \frac{21}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & -3 & -1\\0 & - \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & \frac{21}{2}\\3 & -4 & -1 & 5\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 - \frac{3}{2} & -1 - - \frac{9}{2} & - \frac{-3}{2} + 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{11}{2} & \frac{7}{2} & \frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & -3 & -1\\0 & - \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & \frac{21}{2}\\0 & - \frac{11}{2} & \frac{7}{2} & \frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\- \frac{7}{2}\\- \frac{11}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & \frac{21}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & -2 & 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & -2 & 2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & -2 & 2\\0 & - \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & \frac{21}{2}\\0 & - \frac{11}{2} & \frac{7}{2} & \frac{13}{2}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{11}{2} - - \frac{11}{2} & - \frac{11}{2} + \frac{7}{2} & - \frac{33}{2} + \frac{13}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -2 & -10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & -2 & 2\\0 & - \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & \frac{21}{2}\\0 & 0 & -2 & -10\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-2\\\frac{7}{2}\\-2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -2 & -10\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 12\\0 & - \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & \frac{21}{2}\\0 & 0 & -2 & -10\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & - \frac{7}{2} + \frac{7}{2} & - \frac{35}{2} + \frac{21}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & 0 & -7\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 12\\0 & - \frac{7}{2} & 0 & -7\\0 & 0 & -2 & -10\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - 12 = 0$$
$$- \frac{7 x_{2}}{2} + 7 = 0$$
$$- 2 x_{3} + 10 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 5$$

Численный ответ

x1 = 6.00000000000000
y1 = 2.00000000000000
z1 = 5.00000000000000