3*x+5*y=4 -3*x+y=8

Вы ввели

3*x + 5*y = 4

$$3 x + 5 y = 4$$

-3*x + y = 8

$$- 3 x + y = 8$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$3 x + 5 y = 4$$
$$- 3 x + y = 8$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$3 x + 5 y = 4$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$3 x = - 5 y + 4$$
$$3 x = - 5 y + 4$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(- 5 y + 4\right)$$
$$x = - \frac{5 y}{3} + \frac{4}{3}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- 3 x + y = 8$$
Получим:
$$y - 3 \left(- \frac{5 y}{3} + \frac{4}{3}\right) = 8$$
$$6 y - 4 = 8$$
Перенесем свободное слагаемое -4 из левой части в правую со сменой знака
$$6 y = 12$$
$$6 y = 12$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{6 y}{6} = 2$$
$$y = 2$$
Т.к.
$$x = - \frac{5 y}{3} + \frac{4}{3}$$
то
$$x = - \frac{10}{3} + \frac{4}{3}$$
$$x = -2$$

Ответ:
$$x = -2$$
$$y = 2$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=

-2

$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

Метод Крамера

$$3 x + 5 y = 4$$
$$- 3 x + y = 8$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 5 y = 4$$
$$- 3 x + y = 8$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{1} + 5 x_{2}\\- 3 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 5\\-3 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 18$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{18} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 5\\8 & 1\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
$$x_{2} = \frac{1}{18} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 4\\-3 & 8\end{matrix}\right] \right )} = 2$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$3 x + 5 y = 4$$
$$- 3 x + y = 8$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 5 y = 4$$
$$- 3 x + y = 8$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & 5 & 4\\-3 & 1 & 8\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & 5 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 6 & 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 6 & 12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 5 & 4\\0 & 6 & 12\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 6 & 12\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & -6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & -6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & -6\\0 & 6 & 12\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} + 6 = 0$$
$$6 x_{2} - 12 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$

Численный ответ

x1 = -2.00000000000000
y1 = 2.00000000000000