Дана система ур-ний $$3 x + 5 y = 4$$ $$- 3 x + y = 8$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$3 x + 5 y = 4$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$3 x = - 5 y + 4$$ $$3 x = - 5 y + 4$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(- 5 y + 4\right)$$ $$x = - \frac{5 y}{3} + \frac{4}{3}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$- 3 x + y = 8$$ Получим: $$y - 3 \left(- \frac{5 y}{3} + \frac{4}{3}\right) = 8$$ $$6 y - 4 = 8$$ Перенесем свободное слагаемое -4 из левой части в правую со сменой знака $$6 y = 12$$ $$6 y = 12$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{6 y}{6} = 2$$ $$y = 2$$ Т.к. $$x = - \frac{5 y}{3} + \frac{4}{3}$$ то $$x = - \frac{10}{3} + \frac{4}{3}$$ $$x = -2$$
Ответ: $$x = -2$$ $$y = 2$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = -2$$ = $$-2$$ =
-2
$$y_{1} = 2$$ = $$2$$ =
2
Метод Крамера
$$3 x + 5 y = 4$$ $$- 3 x + y = 8$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$3 x + 5 y = 4$$ $$- 3 x + y = 8$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}3 x_{1} + 5 x_{2}\\- 3 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 5\\-3 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 18$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = \frac{1}{18} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 5\\8 & 1\end{matrix}\right] \right )} = -2$$ $$x_{2} = \frac{1}{18} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 4\\-3 & 8\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$3 x + 5 y = 4$$ $$- 3 x + y = 8$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$3 x + 5 y = 4$$ $$- 3 x + y = 8$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}3 & 5 & 4\\-3 & 1 & 8\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}3 & 5 & 4\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & 6 & 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 6 & 12\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}3 & 5 & 4\\0 & 6 & 12\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & 6 & 12\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}3 & 0 & -6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & -6\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}3 & 0 & -6\\0 & 6 & 12\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$3 x_{1} + 6 = 0$$ $$6 x_{2} - 12 = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = -2$$ $$x_{2} = 2$$