179*x+31*y=30 31*x+113*y=602
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
179*x + 31*y = 30
$$179 x + 31 y = 30$$
31*x + 113*y = 602
$$31 x + 113 y = 602$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$179 x + 31 y = 30$$
$$31 x + 113 y = 602$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$179 x + 31 y = 30$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$179 x = - 31 y + 30$$
$$179 x = - 31 y + 30$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{179 x}{179} = \frac{1}{179} \left(- 31 y + 30\right)$$
$$x = - \frac{31 y}{179} + \frac{30}{179}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$31 x + 113 y = 602$$
Получим:
$$113 y + 31 \left(- \frac{31 y}{179} + \frac{30}{179}\right) = 602$$
$$\frac{19266 y}{179} + \frac{930}{179} = 602$$
Перенесем свободное слагаемое 930/179 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{19266 y}{179} = \frac{106828}{179}$$
$$\frac{19266 y}{179} = \frac{106828}{179}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{19266}{179} y}{\frac{19266}{179}} = \frac{53414}{9633}$$
$$y = \frac{53414}{9633}$$
Т.к.
$$x = - \frac{31 y}{179} + \frac{30}{179}$$
то
$$x = - \frac{1655834}{1724307} + \frac{30}{179}$$
$$x = - \frac{7636}{9633}$$
Ответ:
$$x = - \frac{7636}{9633}$$
$$y = \frac{53414}{9633}$$
$$179 x + 31 y = 30$$
$$31 x + 113 y = 602$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$179 x + 31 y = 30$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$179 x = - 31 y + 30$$
$$179 x = - 31 y + 30$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{179 x}{179} = \frac{1}{179} \left(- 31 y + 30\right)$$
$$x = - \frac{31 y}{179} + \frac{30}{179}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$31 x + 113 y = 602$$
Получим:
$$113 y + 31 \left(- \frac{31 y}{179} + \frac{30}{179}\right) = 602$$
$$\frac{19266 y}{179} + \frac{930}{179} = 602$$
Перенесем свободное слагаемое 930/179 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{19266 y}{179} = \frac{106828}{179}$$
$$\frac{19266 y}{179} = \frac{106828}{179}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{19266}{179} y}{\frac{19266}{179}} = \frac{53414}{9633}$$
$$y = \frac{53414}{9633}$$
Т.к.
$$x = - \frac{31 y}{179} + \frac{30}{179}$$
то
$$x = - \frac{1655834}{1724307} + \frac{30}{179}$$
$$x = - \frac{7636}{9633}$$
Ответ:
$$x = - \frac{7636}{9633}$$
$$y = \frac{53414}{9633}$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = - \frac{7636}{9633}$$
=
$$- \frac{7636}{9633}$$
=
$$y_{1} = \frac{53414}{9633}$$
=
$$\frac{53414}{9633}$$
=
=
$$- \frac{7636}{9633}$$
=
-0.792691788643206
$$y_{1} = \frac{53414}{9633}$$
=
$$\frac{53414}{9633}$$
=
5.5448977473269
Метод Крамера
[TeX]
$$179 x + 31 y = 30$$
$$31 x + 113 y = 602$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$179 x + 31 y = 30$$
$$31 x + 113 y = 602$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}179 x_{1} + 31 x_{2}\\31 x_{1} + 113 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}30\\602\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}179 & 31\\31 & 113\end{matrix}\right] \right )} = 19266$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{19266} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}30 & 31\\602 & 113\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{7636}{9633}$$
$$x_{2} = \frac{1}{19266} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}179 & 30\\31 & 602\end{matrix}\right] \right )} = \frac{53414}{9633}$$
$$31 x + 113 y = 602$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$179 x + 31 y = 30$$
$$31 x + 113 y = 602$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}179 x_{1} + 31 x_{2}\\31 x_{1} + 113 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}30\\602\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}179 & 31\\31 & 113\end{matrix}\right] \right )} = 19266$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{19266} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}30 & 31\\602 & 113\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{7636}{9633}$$
$$x_{2} = \frac{1}{19266} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}179 & 30\\31 & 602\end{matrix}\right] \right )} = \frac{53414}{9633}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$179 x + 31 y = 30$$
$$31 x + 113 y = 602$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$179 x + 31 y = 30$$
$$31 x + 113 y = 602$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}179 & 31 & 30\\31 & 113 & 602\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}179\\31\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}179 & 31 & 30\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{961}{179} + 113 & - \frac{930}{179} + 602\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{19266}{179} & \frac{106828}{179}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}179 & 31 & 30\\0 & \frac{19266}{179} & \frac{106828}{179}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}31\\\frac{19266}{179}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19266}{179} & \frac{106828}{179}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}179 & 0 & - \frac{1655834}{9633} + 30\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}179 & 0 & - \frac{1366844}{9633}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}179 & 0 & - \frac{1366844}{9633}\\0 & \frac{19266}{179} & \frac{106828}{179}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$179 x_{1} + \frac{1366844}{9633} = 0$$
$$\frac{19266 x_{2}}{179} - \frac{106828}{179} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{7636}{9633}$$
$$x_{2} = \frac{53414}{9633}$$
$$179 x + 31 y = 30$$
$$31 x + 113 y = 602$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$179 x + 31 y = 30$$
$$31 x + 113 y = 602$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}179 & 31 & 30\\31 & 113 & 602\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}179\\31\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}179 & 31 & 30\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{961}{179} + 113 & - \frac{930}{179} + 602\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{19266}{179} & \frac{106828}{179}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}179 & 31 & 30\\0 & \frac{19266}{179} & \frac{106828}{179}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}31\\\frac{19266}{179}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19266}{179} & \frac{106828}{179}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}179 & 0 & - \frac{1655834}{9633} + 30\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}179 & 0 & - \frac{1366844}{9633}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}179 & 0 & - \frac{1366844}{9633}\\0 & \frac{19266}{179} & \frac{106828}{179}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$179 x_{1} + \frac{1366844}{9633} = 0$$
$$\frac{19266 x_{2}}{179} - \frac{106828}{179} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{7636}{9633}$$
$$x_{2} = \frac{53414}{9633}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = -0.7926917886432056 y1 = 5.544897747326897