25*x/12+2*y/3-3*z/16+16=0 2*x/3+29*y/6+z/2+15=0 -3*x/16+y/2+35*z/64-30=0
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
25*x 2*y 3*z ---- + --- - --- + 16 = 0 12 3 16
$$- \frac{3 z}{16} + \frac{25 x}{12} + \frac{2 y}{3} + 16 = 0$$
2*x 29*y z --- + ---- + - + 15 = 0 3 6 2
$$\frac{z}{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{29 y}{6} + 15 = 0$$
-3*x y 35*z ---- + - + ---- - 30 = 0 16 2 64
$$\frac{35 z}{64} + \frac{1}{16} \left(-1 \cdot 3 x\right) + \frac{y}{2} - 30 = 0$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = \frac{554}{427}$$
=
$$\frac{554}{427}$$
=
$$z_{1} = \frac{3928}{61}$$
=
$$\frac{3928}{61}$$
=
$$y_{1} = - \frac{4246}{427}$$
=
$$- \frac{4246}{427}$$
=
=
$$\frac{554}{427}$$
=
1.29742388758782
$$z_{1} = \frac{3928}{61}$$
=
$$\frac{3928}{61}$$
=
64.3934426229508
$$y_{1} = - \frac{4246}{427}$$
=
$$- \frac{4246}{427}$$
=
-9.94379391100703
Метод Крамера
[TeX]
$$- \frac{3 z}{16} + \frac{25 x}{12} + \frac{2 y}{3} + 16 = 0$$
$$\frac{z}{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{29 y}{6} + 15 = 0$$
$$\frac{35 z}{64} + \frac{1}{16} \left(-1 \cdot 3 x\right) + \frac{y}{2} - 30 = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{25 x}{12} + \frac{2 y}{3} - \frac{3 z}{16} = -16$$
$$\frac{2 x}{3} + \frac{29 y}{6} + \frac{z}{2} = -15$$
$$- \frac{3 x}{16} + \frac{y}{2} + \frac{35 z}{64} = 30$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- \frac{3 x_{3}}{16} + \frac{25 x_{1}}{12} + \frac{2 x_{2}}{3}\\\frac{x_{3}}{2} + \frac{2 x_{1}}{3} + \frac{29 x_{2}}{6}\\\frac{35 x_{3}}{64} + - \frac{3 x_{1}}{16} + \frac{x_{2}}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-16\\-15\\30\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & \frac{2}{3} & - \frac{3}{16}\\\frac{2}{3} & \frac{29}{6} & \frac{1}{2}\\- \frac{3}{16} & \frac{1}{2} & \frac{35}{64}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{427}{96}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{96}{427} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-16 & \frac{2}{3} & - \frac{3}{16}\\-15 & \frac{29}{6} & \frac{1}{2}\\30 & \frac{1}{2} & \frac{35}{64}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{554}{427}$$
$$x_{2} = \frac{96}{427} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & -16 & - \frac{3}{16}\\\frac{2}{3} & -15 & \frac{1}{2}\\- \frac{3}{16} & 30 & \frac{35}{64}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{4246}{427}$$
$$x_{3} = \frac{96}{427} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & \frac{2}{3} & -16\\\frac{2}{3} & \frac{29}{6} & -15\\- \frac{3}{16} & \frac{1}{2} & 30\end{matrix}\right] \right )} = \frac{3928}{61}$$
$$\frac{z}{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{29 y}{6} + 15 = 0$$
$$\frac{35 z}{64} + \frac{1}{16} \left(-1 \cdot 3 x\right) + \frac{y}{2} - 30 = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{25 x}{12} + \frac{2 y}{3} - \frac{3 z}{16} = -16$$
$$\frac{2 x}{3} + \frac{29 y}{6} + \frac{z}{2} = -15$$
$$- \frac{3 x}{16} + \frac{y}{2} + \frac{35 z}{64} = 30$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- \frac{3 x_{3}}{16} + \frac{25 x_{1}}{12} + \frac{2 x_{2}}{3}\\\frac{x_{3}}{2} + \frac{2 x_{1}}{3} + \frac{29 x_{2}}{6}\\\frac{35 x_{3}}{64} + - \frac{3 x_{1}}{16} + \frac{x_{2}}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-16\\-15\\30\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & \frac{2}{3} & - \frac{3}{16}\\\frac{2}{3} & \frac{29}{6} & \frac{1}{2}\\- \frac{3}{16} & \frac{1}{2} & \frac{35}{64}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{427}{96}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{96}{427} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-16 & \frac{2}{3} & - \frac{3}{16}\\-15 & \frac{29}{6} & \frac{1}{2}\\30 & \frac{1}{2} & \frac{35}{64}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{554}{427}$$
$$x_{2} = \frac{96}{427} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & -16 & - \frac{3}{16}\\\frac{2}{3} & -15 & \frac{1}{2}\\- \frac{3}{16} & 30 & \frac{35}{64}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{4246}{427}$$
$$x_{3} = \frac{96}{427} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & \frac{2}{3} & -16\\\frac{2}{3} & \frac{29}{6} & -15\\- \frac{3}{16} & \frac{1}{2} & 30\end{matrix}\right] \right )} = \frac{3928}{61}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$- \frac{3 z}{16} + \frac{25 x}{12} + \frac{2 y}{3} + 16 = 0$$
$$\frac{z}{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{29 y}{6} + 15 = 0$$
$$\frac{35 z}{64} + \frac{1}{16} \left(-1 \cdot 3 x\right) + \frac{y}{2} - 30 = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{25 x}{12} + \frac{2 y}{3} - \frac{3 z}{16} = -16$$
$$\frac{2 x}{3} + \frac{29 y}{6} + \frac{z}{2} = -15$$
$$- \frac{3 x}{16} + \frac{y}{2} + \frac{35 z}{64} = 30$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & \frac{2}{3} & - \frac{3}{16} & -16\\\frac{2}{3} & \frac{29}{6} & \frac{1}{2} & -15\\- \frac{3}{16} & \frac{1}{2} & \frac{35}{64} & 30\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12}\\\frac{2}{3}\\- \frac{3}{16}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & \frac{2}{3} & - \frac{3}{16} & -16\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{2}{3} + \frac{2}{3} & - \frac{16}{75} + \frac{29}{6} & - \frac{-3}{50} + \frac{1}{2} & -15 - - \frac{128}{25}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{231}{50} & \frac{14}{25} & - \frac{247}{25}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & \frac{2}{3} & - \frac{3}{16} & -16\\0 & \frac{231}{50} & \frac{14}{25} & - \frac{247}{25}\\- \frac{3}{16} & \frac{1}{2} & \frac{35}{64} & 30\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{3}{16} - - \frac{3}{16} & - \frac{-3}{50} + \frac{1}{2} & - \frac{27}{1600} + \frac{35}{64} & - \frac{36}{25} + 30\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{14}{25} & \frac{53}{100} & \frac{714}{25}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & \frac{2}{3} & - \frac{3}{16} & -16\\0 & \frac{231}{50} & \frac{14}{25} & - \frac{247}{25}\\0 & \frac{14}{25} & \frac{53}{100} & \frac{714}{25}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{231}{50}\\\frac{14}{25}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{231}{50} & \frac{14}{25} & - \frac{247}{25}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} & - \frac{3}{16} - \frac{8}{99} & -16 - - \frac{988}{693}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & 0 & - \frac{425}{1584} & - \frac{10100}{693}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & 0 & - \frac{425}{1584} & - \frac{10100}{693}\\0 & \frac{231}{50} & \frac{14}{25} & - \frac{247}{25}\\0 & \frac{14}{25} & \frac{53}{100} & \frac{714}{25}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{14}{25} + \frac{14}{25} & - \frac{56}{825} + \frac{53}{100} & - \frac{-988}{825} + \frac{714}{25}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{61}{132} & \frac{982}{33}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & 0 & - \frac{425}{1584} & - \frac{10100}{693}\\0 & \frac{231}{50} & \frac{14}{25} & - \frac{247}{25}\\0 & 0 & \frac{61}{132} & \frac{982}{33}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{425}{1584}\\\frac{14}{25}\\\frac{61}{132}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{61}{132} & \frac{982}{33}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & 0 & - \frac{425}{1584} - - \frac{425}{1584} & - \frac{10100}{693} - - \frac{208675}{12078}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & 0 & 0 & \frac{6925}{2562}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & 0 & 0 & \frac{6925}{2562}\\0 & \frac{231}{50} & \frac{14}{25} & - \frac{247}{25}\\0 & 0 & \frac{61}{132} & \frac{982}{33}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{231}{50} & - \frac{14}{25} + \frac{14}{25} & - \frac{54992}{1525} - \frac{247}{25}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{231}{50} & 0 & - \frac{70059}{1525}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & 0 & 0 & \frac{6925}{2562}\\0 & \frac{231}{50} & 0 & - \frac{70059}{1525}\\0 & 0 & \frac{61}{132} & \frac{982}{33}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$\frac{25 x_{1}}{12} - \frac{6925}{2562} = 0$$
$$\frac{231 x_{2}}{50} + \frac{70059}{1525} = 0$$
$$\frac{61 x_{3}}{132} - \frac{982}{33} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{554}{427}$$
$$x_{2} = - \frac{4246}{427}$$
$$x_{3} = \frac{3928}{61}$$
$$- \frac{3 z}{16} + \frac{25 x}{12} + \frac{2 y}{3} + 16 = 0$$
$$\frac{z}{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{29 y}{6} + 15 = 0$$
$$\frac{35 z}{64} + \frac{1}{16} \left(-1 \cdot 3 x\right) + \frac{y}{2} - 30 = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{25 x}{12} + \frac{2 y}{3} - \frac{3 z}{16} = -16$$
$$\frac{2 x}{3} + \frac{29 y}{6} + \frac{z}{2} = -15$$
$$- \frac{3 x}{16} + \frac{y}{2} + \frac{35 z}{64} = 30$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & \frac{2}{3} & - \frac{3}{16} & -16\\\frac{2}{3} & \frac{29}{6} & \frac{1}{2} & -15\\- \frac{3}{16} & \frac{1}{2} & \frac{35}{64} & 30\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12}\\\frac{2}{3}\\- \frac{3}{16}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & \frac{2}{3} & - \frac{3}{16} & -16\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{2}{3} + \frac{2}{3} & - \frac{16}{75} + \frac{29}{6} & - \frac{-3}{50} + \frac{1}{2} & -15 - - \frac{128}{25}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{231}{50} & \frac{14}{25} & - \frac{247}{25}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & \frac{2}{3} & - \frac{3}{16} & -16\\0 & \frac{231}{50} & \frac{14}{25} & - \frac{247}{25}\\- \frac{3}{16} & \frac{1}{2} & \frac{35}{64} & 30\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{3}{16} - - \frac{3}{16} & - \frac{-3}{50} + \frac{1}{2} & - \frac{27}{1600} + \frac{35}{64} & - \frac{36}{25} + 30\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{14}{25} & \frac{53}{100} & \frac{714}{25}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & \frac{2}{3} & - \frac{3}{16} & -16\\0 & \frac{231}{50} & \frac{14}{25} & - \frac{247}{25}\\0 & \frac{14}{25} & \frac{53}{100} & \frac{714}{25}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{231}{50}\\\frac{14}{25}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{231}{50} & \frac{14}{25} & - \frac{247}{25}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} & - \frac{3}{16} - \frac{8}{99} & -16 - - \frac{988}{693}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & 0 & - \frac{425}{1584} & - \frac{10100}{693}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & 0 & - \frac{425}{1584} & - \frac{10100}{693}\\0 & \frac{231}{50} & \frac{14}{25} & - \frac{247}{25}\\0 & \frac{14}{25} & \frac{53}{100} & \frac{714}{25}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{14}{25} + \frac{14}{25} & - \frac{56}{825} + \frac{53}{100} & - \frac{-988}{825} + \frac{714}{25}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{61}{132} & \frac{982}{33}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & 0 & - \frac{425}{1584} & - \frac{10100}{693}\\0 & \frac{231}{50} & \frac{14}{25} & - \frac{247}{25}\\0 & 0 & \frac{61}{132} & \frac{982}{33}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{425}{1584}\\\frac{14}{25}\\\frac{61}{132}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{61}{132} & \frac{982}{33}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & 0 & - \frac{425}{1584} - - \frac{425}{1584} & - \frac{10100}{693} - - \frac{208675}{12078}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & 0 & 0 & \frac{6925}{2562}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & 0 & 0 & \frac{6925}{2562}\\0 & \frac{231}{50} & \frac{14}{25} & - \frac{247}{25}\\0 & 0 & \frac{61}{132} & \frac{982}{33}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{231}{50} & - \frac{14}{25} + \frac{14}{25} & - \frac{54992}{1525} - \frac{247}{25}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{231}{50} & 0 & - \frac{70059}{1525}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & 0 & 0 & \frac{6925}{2562}\\0 & \frac{231}{50} & 0 & - \frac{70059}{1525}\\0 & 0 & \frac{61}{132} & \frac{982}{33}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$\frac{25 x_{1}}{12} - \frac{6925}{2562} = 0$$
$$\frac{231 x_{2}}{50} + \frac{70059}{1525} = 0$$
$$\frac{61 x_{3}}{132} - \frac{982}{33} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{554}{427}$$
$$x_{2} = - \frac{4246}{427}$$
$$x_{3} = \frac{3928}{61}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 1.297423887587822 y1 = -9.943793911007026 z1 = 64.39344262295082