25*x/12+2*y/3-3*z/16+16=0 2*x/3+29*y/6+z/2+15=0 -3*x/16+y/2+35*z/64-30=0

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:
53 уравнение:

Примеры

Примеры

Система линейных уравнений с двумя неизвестными

x + y = 5
2x - 3y = 1

Система линейных ур-ний с тремя неизвестными

2*x = 2
5*y = 10
x + y + z = 3

Система дробно-рациональных уравнений

x + y = 3
1/x + 1/y = 2/5

Система четырёх уравнений

x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1
2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2
3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5
2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11

Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными

2x + 4y + 6z + 8v = 100
3x + 5y + 7z + 9v = 116
3x - 5y + 7z - 9v = -40
-2x + 4y - 6z + 8v = 36

Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь

2/x = 11
x - 3*z^2 = 0
2/7*x + y - z = -3

Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)

x = y^3
x*y = -5

Система ур-ний c квадратным корнем

x + y - sqrt(x*y) = 5
2*x*y = 3

Система тригонометрических ур-ний

x + y = 5*pi/2
sin(x) + cos(2y) = -1

Система показательных и логарифмических уравнений

y - log(x)/log(3) = 1
x^y = 3^12

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
25*x   2*y   3*z         
---- + --- - --- + 16 = 0
 12     3     16         
$$- \frac{3 z}{16} + \frac{25 x}{12} + \frac{2 y}{3} + 16 = 0$$
2*x   29*y   z         
--- + ---- + - + 15 = 0
 3     6     2         
$$\frac{z}{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{29 y}{6} + 15 = 0$$
-3*x   y   35*z         
---- + - + ---- - 30 = 0
 16    2    64          
$$\frac{35 z}{64} + \frac{1}{16} \left(-1 \cdot 3 x\right) + \frac{y}{2} - 30 = 0$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = \frac{554}{427}$$
=
$$\frac{554}{427}$$
=
1.29742388758782

$$z_{1} = \frac{3928}{61}$$
=
$$\frac{3928}{61}$$
=
64.3934426229508

$$y_{1} = - \frac{4246}{427}$$
=
$$- \frac{4246}{427}$$
=
-9.94379391100703
Метод Крамера
[TeX]
$$- \frac{3 z}{16} + \frac{25 x}{12} + \frac{2 y}{3} + 16 = 0$$
$$\frac{z}{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{29 y}{6} + 15 = 0$$
$$\frac{35 z}{64} + \frac{1}{16} \left(-1 \cdot 3 x\right) + \frac{y}{2} - 30 = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{25 x}{12} + \frac{2 y}{3} - \frac{3 z}{16} = -16$$
$$\frac{2 x}{3} + \frac{29 y}{6} + \frac{z}{2} = -15$$
$$- \frac{3 x}{16} + \frac{y}{2} + \frac{35 z}{64} = 30$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- \frac{3 x_{3}}{16} + \frac{25 x_{1}}{12} + \frac{2 x_{2}}{3}\\\frac{x_{3}}{2} + \frac{2 x_{1}}{3} + \frac{29 x_{2}}{6}\\\frac{35 x_{3}}{64} + - \frac{3 x_{1}}{16} + \frac{x_{2}}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-16\\-15\\30\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & \frac{2}{3} & - \frac{3}{16}\\\frac{2}{3} & \frac{29}{6} & \frac{1}{2}\\- \frac{3}{16} & \frac{1}{2} & \frac{35}{64}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{427}{96}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{96}{427} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-16 & \frac{2}{3} & - \frac{3}{16}\\-15 & \frac{29}{6} & \frac{1}{2}\\30 & \frac{1}{2} & \frac{35}{64}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{554}{427}$$
$$x_{2} = \frac{96}{427} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & -16 & - \frac{3}{16}\\\frac{2}{3} & -15 & \frac{1}{2}\\- \frac{3}{16} & 30 & \frac{35}{64}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{4246}{427}$$
$$x_{3} = \frac{96}{427} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & \frac{2}{3} & -16\\\frac{2}{3} & \frac{29}{6} & -15\\- \frac{3}{16} & \frac{1}{2} & 30\end{matrix}\right] \right )} = \frac{3928}{61}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$- \frac{3 z}{16} + \frac{25 x}{12} + \frac{2 y}{3} + 16 = 0$$
$$\frac{z}{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{29 y}{6} + 15 = 0$$
$$\frac{35 z}{64} + \frac{1}{16} \left(-1 \cdot 3 x\right) + \frac{y}{2} - 30 = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{25 x}{12} + \frac{2 y}{3} - \frac{3 z}{16} = -16$$
$$\frac{2 x}{3} + \frac{29 y}{6} + \frac{z}{2} = -15$$
$$- \frac{3 x}{16} + \frac{y}{2} + \frac{35 z}{64} = 30$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & \frac{2}{3} & - \frac{3}{16} & -16\\\frac{2}{3} & \frac{29}{6} & \frac{1}{2} & -15\\- \frac{3}{16} & \frac{1}{2} & \frac{35}{64} & 30\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12}\\\frac{2}{3}\\- \frac{3}{16}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & \frac{2}{3} & - \frac{3}{16} & -16\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{2}{3} + \frac{2}{3} & - \frac{16}{75} + \frac{29}{6} & - \frac{-3}{50} + \frac{1}{2} & -15 - - \frac{128}{25}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{231}{50} & \frac{14}{25} & - \frac{247}{25}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & \frac{2}{3} & - \frac{3}{16} & -16\\0 & \frac{231}{50} & \frac{14}{25} & - \frac{247}{25}\\- \frac{3}{16} & \frac{1}{2} & \frac{35}{64} & 30\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{3}{16} - - \frac{3}{16} & - \frac{-3}{50} + \frac{1}{2} & - \frac{27}{1600} + \frac{35}{64} & - \frac{36}{25} + 30\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{14}{25} & \frac{53}{100} & \frac{714}{25}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & \frac{2}{3} & - \frac{3}{16} & -16\\0 & \frac{231}{50} & \frac{14}{25} & - \frac{247}{25}\\0 & \frac{14}{25} & \frac{53}{100} & \frac{714}{25}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{231}{50}\\\frac{14}{25}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{231}{50} & \frac{14}{25} & - \frac{247}{25}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} & - \frac{3}{16} - \frac{8}{99} & -16 - - \frac{988}{693}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & 0 & - \frac{425}{1584} & - \frac{10100}{693}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & 0 & - \frac{425}{1584} & - \frac{10100}{693}\\0 & \frac{231}{50} & \frac{14}{25} & - \frac{247}{25}\\0 & \frac{14}{25} & \frac{53}{100} & \frac{714}{25}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{14}{25} + \frac{14}{25} & - \frac{56}{825} + \frac{53}{100} & - \frac{-988}{825} + \frac{714}{25}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{61}{132} & \frac{982}{33}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & 0 & - \frac{425}{1584} & - \frac{10100}{693}\\0 & \frac{231}{50} & \frac{14}{25} & - \frac{247}{25}\\0 & 0 & \frac{61}{132} & \frac{982}{33}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{425}{1584}\\\frac{14}{25}\\\frac{61}{132}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{61}{132} & \frac{982}{33}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & 0 & - \frac{425}{1584} - - \frac{425}{1584} & - \frac{10100}{693} - - \frac{208675}{12078}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & 0 & 0 & \frac{6925}{2562}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & 0 & 0 & \frac{6925}{2562}\\0 & \frac{231}{50} & \frac{14}{25} & - \frac{247}{25}\\0 & 0 & \frac{61}{132} & \frac{982}{33}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{231}{50} & - \frac{14}{25} + \frac{14}{25} & - \frac{54992}{1525} - \frac{247}{25}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{231}{50} & 0 & - \frac{70059}{1525}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{25}{12} & 0 & 0 & \frac{6925}{2562}\\0 & \frac{231}{50} & 0 & - \frac{70059}{1525}\\0 & 0 & \frac{61}{132} & \frac{982}{33}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$\frac{25 x_{1}}{12} - \frac{6925}{2562} = 0$$
$$\frac{231 x_{2}}{50} + \frac{70059}{1525} = 0$$
$$\frac{61 x_{3}}{132} - \frac{982}{33} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{554}{427}$$
$$x_{2} = - \frac{4246}{427}$$
$$x_{3} = \frac{3928}{61}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 1.297423887587822
y1 = -9.943793911007026
z1 = 64.39344262295082