x+y-z=0 3*x+2*y+z=5 4*x-y+5*z=3
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
x + y - z = 0
$$- z + x + y = 0$$
3*x + 2*y + z = 5
$$z + 3 x + 2 y = 5$$
4*x - y + 5*z = 3
$$5 z + 4 x - y = 3$$
Быстрый ответ
[LaTeX]
$$x_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=
$$z_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
$$y_{1} = 3$$
=
$$3$$
=
=
$$-1$$
=
-1
$$z_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
2
$$y_{1} = 3$$
=
$$3$$
=
3
Метод Крамера
[LaTeX]
$$- z + x + y = 0$$
$$z + 3 x + 2 y = 5$$
$$5 z + 4 x - y = 3$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y - z = 0$$
$$3 x + 2 y + z = 5$$
$$4 x - y + 5 z = 3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- x_{3} + x_{1} + x_{2}\\x_{3} + 3 x_{1} + 2 x_{2}\\5 x_{3} + 4 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\5\\3\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1\\3 & 2 & 1\\4 & -1 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 11$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\\5 & 2 & 1\\3 & -1 & 5\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
$$x_{2} = \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 0 & -1\\3 & 5 & 1\\4 & 3 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
$$x_{3} = \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0\\3 & 2 & 5\\4 & -1 & 3\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$z + 3 x + 2 y = 5$$
$$5 z + 4 x - y = 3$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y - z = 0$$
$$3 x + 2 y + z = 5$$
$$4 x - y + 5 z = 3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- x_{3} + x_{1} + x_{2}\\x_{3} + 3 x_{1} + 2 x_{2}\\5 x_{3} + 4 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\5\\3\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1\\3 & 2 & 1\\4 & -1 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 11$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\\5 & 2 & 1\\3 & -1 & 5\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
$$x_{2} = \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 0 & -1\\3 & 5 & 1\\4 & 3 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
$$x_{3} = \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0\\3 & 2 & 5\\4 & -1 & 3\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
Метод Гаусса
[LaTeX]
Дана система ур-ний
$$- z + x + y = 0$$
$$z + 3 x + 2 y = 5$$
$$5 z + 4 x - y = 3$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y - z = 0$$
$$3 x + 2 y + z = 5$$
$$4 x - y + 5 z = 3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1 & 0\\3 & 2 & 1 & 5\\4 & -1 & 5 & 3\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\3\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 4 & 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 4 & 5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1 & 0\\0 & -1 & 4 & 5\\4 & -1 & 5 & 3\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 & 9 & 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -5 & 9 & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1 & 0\\0 & -1 & 4 & 5\\0 & -5 & 9 & 3\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-1\\-5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 4 & 5\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 5\\0 & -1 & 4 & 5\\0 & -5 & 9 & 3\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -11 & -22\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -11 & -22\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 5\\0 & -1 & 4 & 5\\0 & 0 & -11 & -22\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\4\\-11\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -11 & -22\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1\\0 & -1 & 4 & 5\\0 & 0 & -11 & -22\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & -3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & -3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1\\0 & -1 & 0 & -3\\0 & 0 & -11 & -22\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} + 1 = 0$$
$$- x_{2} + 3 = 0$$
$$- 11 x_{3} + 22 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = 2$$
$$- z + x + y = 0$$
$$z + 3 x + 2 y = 5$$
$$5 z + 4 x - y = 3$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y - z = 0$$
$$3 x + 2 y + z = 5$$
$$4 x - y + 5 z = 3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1 & 0\\3 & 2 & 1 & 5\\4 & -1 & 5 & 3\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\3\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 4 & 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 4 & 5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1 & 0\\0 & -1 & 4 & 5\\4 & -1 & 5 & 3\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 & 9 & 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -5 & 9 & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1 & 0\\0 & -1 & 4 & 5\\0 & -5 & 9 & 3\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-1\\-5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 4 & 5\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 5\\0 & -1 & 4 & 5\\0 & -5 & 9 & 3\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -11 & -22\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -11 & -22\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 5\\0 & -1 & 4 & 5\\0 & 0 & -11 & -22\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\4\\-11\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -11 & -22\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1\\0 & -1 & 4 & 5\\0 & 0 & -11 & -22\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & -3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & -3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1\\0 & -1 & 0 & -3\\0 & 0 & -11 & -22\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} + 1 = 0$$
$$- x_{2} + 3 = 0$$
$$- 11 x_{3} + 22 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = 2$$
Численный ответ
[LaTeX]
x1 = -1.00000000000000 y1 = 3.00000000000000 z1 = 2.00000000000000