x+y-z=0 3*x+2*y+z=5 4*x-y+5*z=3

Вы ввели

x + y - z = 0

$$- z + \left(x + y\right) = 0$$

3*x + 2*y + z = 5

$$z + \left(3 x + 2 y\right) = 5$$

4*x - y + 5*z = 3

$$5 z + \left(4 x - y\right) = 3$$

или

$$\begin{cases}- z + \left(x + y\right) = 0\\z + \left(3 x + 2 y\right) = 5\\5 z + \left(4 x - y\right) = 3\end{cases}$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=

-1

$$y_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

$$z_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

Метод Крамера

$$- z + \left(x + y\right) = 0$$
$$z + \left(3 x + 2 y\right) = 5$$
$$5 z + \left(4 x - y\right) = 3$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y - z = 0$$
$$3 x + 2 y + z = 5$$
$$4 x - y + 5 z = 3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2} - x_{3}\\3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3}\\4 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\5\\3\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1\\3 & 2 & 1\\4 & -1 & 5\end{matrix}\right] \right)} = 11$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\\5 & 2 & 1\\3 & -1 & 5\end{matrix}\right] \right)}}{11} = -1$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 0 & -1\\3 & 5 & 1\\4 & 3 & 5\end{matrix}\right] \right)}}{11} = 3$$
$$x_{3} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0\\3 & 2 & 5\\4 & -1 & 3\end{matrix}\right] \right)}}{11} = 2$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$- z + \left(x + y\right) = 0$$
$$z + \left(3 x + 2 y\right) = 5$$
$$5 z + \left(4 x - y\right) = 3$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y - z = 0$$
$$3 x + 2 y + z = 5$$
$$4 x - y + 5 z = 3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1 & 0\\3 & 2 & 1 & 5\\4 & -1 & 5 & 3\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\3\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 3 + 3 & \left(-1\right) 3 + 2 & 1 - - 3 & 5 - 0 \cdot 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 4 & 5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1 & 0\\0 & -1 & 4 & 5\\4 & -1 & 5 & 3\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 4 + 4 & \left(-1\right) 4 - 1 & 5 - - 4 & 3 - 0 \cdot 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -5 & 9 & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1 & 0\\0 & -1 & 4 & 5\\0 & -5 & 9 & 3\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-1\\-5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 4 & 5\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 - \left(-1\right) 0 & 1 - - -1 & -1 - \left(-1\right) 4 & - \left(-1\right) 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 5\\0 & -1 & 4 & 5\\0 & -5 & 9 & 3\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- 0 \cdot 5 & -5 - - 5 & 9 - 4 \cdot 5 & 3 - 5 \cdot 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -11 & -22\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 5\\0 & -1 & 4 & 5\\0 & 0 & -11 & -22\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\4\\-11\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -11 & -22\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-3\right) 0}{11} & - \frac{\left(-3\right) 0}{11} & 3 - - -3 & 5 - - -6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1\\0 & -1 & 4 & 5\\0 & 0 & -11 & -22\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{\left(-4\right) 0}{11} & -1 - \frac{\left(-4\right) 0}{11} & 4 - - -4 & 5 - - -8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & -3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1\\0 & -1 & 0 & -3\\0 & 0 & -11 & -22\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} + 1 = 0$$
$$3 - x_{2} = 0$$
$$22 - 11 x_{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = 2$$

Численный ответ

z1 = 2.0
y1 = 3.0
x1 = -1.0