5*x-7*y=24 -5*x-8*y=81

Вы ввели

5*x - 7*y = 24

$$5 x - 7 y = 24$$

-5*x - 8*y = 81

$$- 5 x - 8 y = 81$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$5 x - 7 y = 24$$
$$- 5 x - 8 y = 81$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$5 x - 7 y = 24$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$5 x - 7 y + 7 y = - -1 \cdot 7 y + 24$$
$$5 x = 7 y + 24$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5} \left(7 y + 24\right)$$
$$x = \frac{7 y}{5} + \frac{24}{5}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- 5 x - 8 y = 81$$
Получим:
$$- 8 y - 5 \left(\frac{7 y}{5} + \frac{24}{5}\right) = 81$$
$$- 15 y - 24 = 81$$
Перенесем свободное слагаемое -24 из левой части в правую со сменой знака
$$- 15 y = 105$$
$$- 15 y = 105$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-15} \left(-1 \cdot 15 y\right) = -7$$
$$y = -7$$
Т.к.
$$x = \frac{7 y}{5} + \frac{24}{5}$$
то
$$x = \frac{-49}{5} + \frac{24}{5}$$
$$x = -5$$

Ответ:
$$x = -5$$
$$y = -7$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = -5$$
=
$$-5$$
=

-5

$$y_{1} = -7$$
=
$$-7$$
=

-7

Метод Крамера

$$5 x - 7 y = 24$$
$$- 5 x - 8 y = 81$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x - 7 y = 24$$
$$- 5 x - 8 y = 81$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 x_{1} - 7 x_{2}\\- 5 x_{1} - 8 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}24\\81\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & -7\\-5 & -8\end{matrix}\right] \right )} = -75$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{75} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}24 & -7\\81 & -8\end{matrix}\right] \right )} = -5$$
$$x_{2} = - \frac{1}{75} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 24\\-5 & 81\end{matrix}\right] \right )} = -7$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$5 x - 7 y = 24$$
$$- 5 x - 8 y = 81$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x - 7 y = 24$$
$$- 5 x - 8 y = 81$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 & -7 & 24\\-5 & -8 & 81\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}5 & -7 & 24\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -15 & 105\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -15 & 105\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & -7 & 24\\0 & -15 & 105\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-7\\-15\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -15 & 105\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & -25\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & -25\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & -25\\0 & -15 & 105\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$5 x_{1} + 25 = 0$$
$$- 15 x_{2} - 105 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = -7$$

Численный ответ

x1 = -5.00000000000000
y1 = -7.00000000000000