Дана система ур-ний $$47 x + 12 y = 24$$ $$- 3 x + 47 y = 45$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$47 x + 12 y = 24$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$47 x = - 12 y + 24$$ $$47 x = - 12 y + 24$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{47 x}{47} = \frac{1}{47} \left(- 12 y + 24\right)$$ $$x = - \frac{12 y}{47} + \frac{24}{47}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$- 3 x + 47 y = 45$$ Получим: $$47 y - 3 \left(- \frac{12 y}{47} + \frac{24}{47}\right) = 45$$ $$\frac{2245 y}{47} - \frac{72}{47} = 45$$ Перенесем свободное слагаемое -72/47 из левой части в правую со сменой знака $$\frac{2245 y}{47} = \frac{2187}{47}$$ $$\frac{2245 y}{47} = \frac{2187}{47}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{\frac{2245}{47} y}{\frac{2245}{47}} = \frac{2187}{2245}$$ $$y = \frac{2187}{2245}$$ Т.к. $$x = - \frac{12 y}{47} + \frac{24}{47}$$ то $$x = - \frac{26244}{105515} + \frac{24}{47}$$ $$x = \frac{588}{2245}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$47 x + 12 y = 24$$ $$- 3 x + 47 y = 45$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}47 x_{1} + 12 x_{2}\\- 3 x_{1} + 47 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}24\\45\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}47 & 12\\-3 & 47\end{matrix}\right] \right )} = 2245$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = \frac{1}{2245} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}24 & 12\\45 & 47\end{matrix}\right] \right )} = \frac{588}{2245}$$ $$x_{2} = \frac{1}{2245} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}47 & 24\\-3 & 45\end{matrix}\right] \right )} = \frac{2187}{2245}$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$47 x + 12 y = 24$$ $$- 3 x + 47 y = 45$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$47 x + 12 y = 24$$ $$- 3 x + 47 y = 45$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}47 & 12 & 24\\-3 & 47 & 45\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}47\\-3\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}47 & 12 & 24\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-36}{47} + 47 & - \frac{-72}{47} + 45\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{2245}{47} & \frac{2187}{47}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}47 & 12 & 24\\0 & \frac{2245}{47} & \frac{2187}{47}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}12\\\frac{2245}{47}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & \frac{2245}{47} & \frac{2187}{47}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}47 & 0 & - \frac{26244}{2245} + 24\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}47 & 0 & \frac{27636}{2245}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}47 & 0 & \frac{27636}{2245}\\0 & \frac{2245}{47} & \frac{2187}{47}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$47 x_{1} - \frac{27636}{2245} = 0$$ $$\frac{2245 x_{2}}{47} - \frac{2187}{47} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = \frac{588}{2245}$$ $$x_{2} = \frac{2187}{2245}$$