47*x+12*y=24 -3*x+47*y=45
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
47*x + 12*y = 24
$$47 x + 12 y = 24$$
-3*x + 47*y = 45
$$- 3 x + 47 y = 45$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$47 x + 12 y = 24$$
$$- 3 x + 47 y = 45$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$47 x + 12 y = 24$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$47 x = - 12 y + 24$$
$$47 x = - 12 y + 24$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{47 x}{47} = \frac{1}{47} \left(- 12 y + 24\right)$$
$$x = - \frac{12 y}{47} + \frac{24}{47}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- 3 x + 47 y = 45$$
Получим:
$$47 y - 3 \left(- \frac{12 y}{47} + \frac{24}{47}\right) = 45$$
$$\frac{2245 y}{47} - \frac{72}{47} = 45$$
Перенесем свободное слагаемое -72/47 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{2245 y}{47} = \frac{2187}{47}$$
$$\frac{2245 y}{47} = \frac{2187}{47}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{2245}{47} y}{\frac{2245}{47}} = \frac{2187}{2245}$$
$$y = \frac{2187}{2245}$$
Т.к.
$$x = - \frac{12 y}{47} + \frac{24}{47}$$
то
$$x = - \frac{26244}{105515} + \frac{24}{47}$$
$$x = \frac{588}{2245}$$
Ответ:
$$x = \frac{588}{2245}$$
$$y = \frac{2187}{2245}$$
$$47 x + 12 y = 24$$
$$- 3 x + 47 y = 45$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$47 x + 12 y = 24$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$47 x = - 12 y + 24$$
$$47 x = - 12 y + 24$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{47 x}{47} = \frac{1}{47} \left(- 12 y + 24\right)$$
$$x = - \frac{12 y}{47} + \frac{24}{47}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- 3 x + 47 y = 45$$
Получим:
$$47 y - 3 \left(- \frac{12 y}{47} + \frac{24}{47}\right) = 45$$
$$\frac{2245 y}{47} - \frac{72}{47} = 45$$
Перенесем свободное слагаемое -72/47 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{2245 y}{47} = \frac{2187}{47}$$
$$\frac{2245 y}{47} = \frac{2187}{47}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{2245}{47} y}{\frac{2245}{47}} = \frac{2187}{2245}$$
$$y = \frac{2187}{2245}$$
Т.к.
$$x = - \frac{12 y}{47} + \frac{24}{47}$$
то
$$x = - \frac{26244}{105515} + \frac{24}{47}$$
$$x = \frac{588}{2245}$$
Ответ:
$$x = \frac{588}{2245}$$
$$y = \frac{2187}{2245}$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = \frac{588}{2245}$$
=
$$\frac{588}{2245}$$
=
$$y_{1} = \frac{2187}{2245}$$
=
$$\frac{2187}{2245}$$
=
=
$$\frac{588}{2245}$$
=
0.261915367483296
$$y_{1} = \frac{2187}{2245}$$
=
$$\frac{2187}{2245}$$
=
0.974164810690423
Метод Крамера
[TeX]
$$47 x + 12 y = 24$$
$$- 3 x + 47 y = 45$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$47 x + 12 y = 24$$
$$- 3 x + 47 y = 45$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}47 x_{1} + 12 x_{2}\\- 3 x_{1} + 47 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}24\\45\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}47 & 12\\-3 & 47\end{matrix}\right] \right )} = 2245$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{2245} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}24 & 12\\45 & 47\end{matrix}\right] \right )} = \frac{588}{2245}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2245} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}47 & 24\\-3 & 45\end{matrix}\right] \right )} = \frac{2187}{2245}$$
$$- 3 x + 47 y = 45$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$47 x + 12 y = 24$$
$$- 3 x + 47 y = 45$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}47 x_{1} + 12 x_{2}\\- 3 x_{1} + 47 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}24\\45\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}47 & 12\\-3 & 47\end{matrix}\right] \right )} = 2245$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{2245} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}24 & 12\\45 & 47\end{matrix}\right] \right )} = \frac{588}{2245}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2245} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}47 & 24\\-3 & 45\end{matrix}\right] \right )} = \frac{2187}{2245}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$47 x + 12 y = 24$$
$$- 3 x + 47 y = 45$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$47 x + 12 y = 24$$
$$- 3 x + 47 y = 45$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}47 & 12 & 24\\-3 & 47 & 45\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}47\\-3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}47 & 12 & 24\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-36}{47} + 47 & - \frac{-72}{47} + 45\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{2245}{47} & \frac{2187}{47}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}47 & 12 & 24\\0 & \frac{2245}{47} & \frac{2187}{47}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}12\\\frac{2245}{47}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{2245}{47} & \frac{2187}{47}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}47 & 0 & - \frac{26244}{2245} + 24\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}47 & 0 & \frac{27636}{2245}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}47 & 0 & \frac{27636}{2245}\\0 & \frac{2245}{47} & \frac{2187}{47}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$47 x_{1} - \frac{27636}{2245} = 0$$
$$\frac{2245 x_{2}}{47} - \frac{2187}{47} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{588}{2245}$$
$$x_{2} = \frac{2187}{2245}$$
$$47 x + 12 y = 24$$
$$- 3 x + 47 y = 45$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$47 x + 12 y = 24$$
$$- 3 x + 47 y = 45$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}47 & 12 & 24\\-3 & 47 & 45\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}47\\-3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}47 & 12 & 24\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-36}{47} + 47 & - \frac{-72}{47} + 45\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{2245}{47} & \frac{2187}{47}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}47 & 12 & 24\\0 & \frac{2245}{47} & \frac{2187}{47}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}12\\\frac{2245}{47}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{2245}{47} & \frac{2187}{47}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}47 & 0 & - \frac{26244}{2245} + 24\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}47 & 0 & \frac{27636}{2245}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}47 & 0 & \frac{27636}{2245}\\0 & \frac{2245}{47} & \frac{2187}{47}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$47 x_{1} - \frac{27636}{2245} = 0$$
$$\frac{2245 x_{2}}{47} - \frac{2187}{47} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{588}{2245}$$
$$x_{2} = \frac{2187}{2245}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 0.2619153674832962 y1 = 0.9741648106904232