15*x+3*y=21 12*z+5*x+y=19 5*x+2*y+6*z=15

Вы ввели

15*x + 3*y = 21

$$15 x + 3 y = 21$$

12*z + 5*x + y = 19

$$y + 5 x + 12 z = 19$$

5*x + 2*y + 6*z = 15

$$6 z + 5 x + 2 y = 15$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$z_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

Метод Крамера

$$15 x + 3 y = 21$$
$$y + 5 x + 12 z = 19$$
$$6 z + 5 x + 2 y = 15$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$15 x + 3 y = 21$$
$$5 x + y + 12 z = 19$$
$$5 x + 2 y + 6 z = 15$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}0 x_{3} + 15 x_{1} + 3 x_{2}\\12 x_{3} + 5 x_{1} + x_{2}\\6 x_{3} + 5 x_{1} + 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}21\\19\\15\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}15 & 3 & 0\\5 & 1 & 12\\5 & 2 & 6\end{matrix}\right] \right )} = -180$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{180} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}21 & 3 & 0\\19 & 1 & 12\\15 & 2 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{180} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}15 & 21 & 0\\5 & 19 & 12\\5 & 15 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{3} = - \frac{1}{180} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}15 & 3 & 21\\5 & 1 & 19\\5 & 2 & 15\end{matrix}\right] \right )} = 1$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$15 x + 3 y = 21$$
$$y + 5 x + 12 z = 19$$
$$6 z + 5 x + 2 y = 15$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$15 x + 3 y = 21$$
$$5 x + y + 12 z = 19$$
$$5 x + 2 y + 6 z = 15$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}15 & 3 & 0 & 21\\5 & 1 & 12 & 19\\5 & 2 & 6 & 15\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}15\\5\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}15 & 3 & 0 & 21\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 12 & 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 12 & 12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}15 & 3 & 0 & 21\\0 & 0 & 12 & 12\\5 & 2 & 6 & 15\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 6 & 8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 6 & 8\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}15 & 3 & 0 & 21\\0 & 0 & 12 & 12\\0 & 1 & 6 & 8\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\0\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}15 & 3 & 0 & 21\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-5 & 0 & 6 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-5 & 0 & 6 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}15 & 3 & 0 & 21\\0 & 0 & 12 & 12\\-5 & 0 & 6 & 1\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\12\\6\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 12 & 12\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-5 & 0 & 0 & -5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-5 & 0 & 0 & -5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}15 & 3 & 0 & 21\\0 & 0 & 12 & 12\\-5 & 0 & 0 & -5\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}15\\0\\-5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-5 & 0 & 0 & -5\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 3 & 0 & 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 3 & 0 & 6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 3 & 0 & 6\\0 & 0 & 12 & 12\\-5 & 0 & 0 & -5\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{2} - 6 = 0$$
$$12 x_{3} - 12 = 0$$
$$- 5 x_{1} + 5 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{1} = 1$$

Численный ответ

x1 = 1.00000000000000
y1 = 2.00000000000000
z1 = 1.00000000000000