5*x-3*y=14 2*x+y=10

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

5*x - 3*y = 14

$$5 x - 3 y = 14$$

2*x + y = 10

$$2 x + y = 10$$

Подробное решение

[TeX]

Дана система ур-ний
$$5 x - 3 y = 14$$
$$2 x + y = 10$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$5 x - 3 y = 14$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$5 x - 3 y + 3 y = - -1 \cdot 3 y + 14$$
$$5 x = 3 y + 14$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5} \left(3 y + 14\right)$$
$$x = \frac{3 y}{5} + \frac{14}{5}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x + y = 10$$
Получим:
$$y + 2 \left(\frac{3 y}{5} + \frac{14}{5}\right) = 10$$
$$\frac{11 y}{5} + \frac{28}{5} = 10$$
Перенесем свободное слагаемое 28/5 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{11 y}{5} = \frac{22}{5}$$
$$\frac{11 y}{5} = \frac{22}{5}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{11}{5} y}{\frac{11}{5}} = 2$$
$$y = 2$$
Т.к.
$$x = \frac{3 y}{5} + \frac{14}{5}$$
то
$$x = \frac{6}{5} + \frac{14}{5}$$
$$x = 4$$

Ответ:
$$x = 4$$
$$y = 2$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$x_{1} = 4$$
=
$$4$$
=

4

$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

Метод Крамера

[TeX]

$$5 x - 3 y = 14$$
$$2 x + y = 10$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x - 3 y = 14$$
$$2 x + y = 10$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 x_{1} - 3 x_{2}\\2 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & -3\\2 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 11$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}14 & -3\\10 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
$$x_{2} = \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 14\\2 & 10\end{matrix}\right] \right )} = 2$$

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$5 x - 3 y = 14$$
$$2 x + y = 10$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x - 3 y = 14$$
$$2 x + y = 10$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 & -3 & 14\\2 & 1 & 10\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}5 & -3 & 14\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 - - \frac{6}{5} & - \frac{28}{5} + 10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{11}{5} & \frac{22}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & -3 & 14\\0 & \frac{11}{5} & \frac{22}{5}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{11}{5} & \frac{22}{5}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 20\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & 20\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 20\\0 & \frac{11}{5} & \frac{22}{5}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$5 x_{1} - 20 = 0$$
$$\frac{11 x_{2}}{5} - \frac{22}{5} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 2$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = 4.00000000000000
y1 = 2.00000000000000