2*x+10*y=3 4*x+5*y=10
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
2*x + 10*y = 3
$$2 x + 10 y = 3$$
4*x + 5*y = 10
$$4 x + 5 y = 10$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$2 x + 10 y = 3$$
$$4 x + 5 y = 10$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x + 10 y = 3$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = - 10 y + 3$$
$$2 x = - 10 y + 3$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(- 10 y + 3\right)$$
$$x = - 5 y + \frac{3}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$4 x + 5 y = 10$$
Получим:
$$5 y + 4 \left(- 5 y + \frac{3}{2}\right) = 10$$
$$- 15 y + 6 = 10$$
Перенесем свободное слагаемое 6 из левой части в правую со сменой знака
$$- 15 y = 4$$
$$- 15 y = 4$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-15} \left(-1 \cdot 15 y\right) = - \frac{4}{15}$$
$$y = - \frac{4}{15}$$
Т.к.
$$x = - 5 y + \frac{3}{2}$$
то
$$x = - \frac{-4}{3} + \frac{3}{2}$$
$$x = \frac{17}{6}$$
Ответ:
$$x = \frac{17}{6}$$
$$y = - \frac{4}{15}$$
$$2 x + 10 y = 3$$
$$4 x + 5 y = 10$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x + 10 y = 3$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = - 10 y + 3$$
$$2 x = - 10 y + 3$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(- 10 y + 3\right)$$
$$x = - 5 y + \frac{3}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$4 x + 5 y = 10$$
Получим:
$$5 y + 4 \left(- 5 y + \frac{3}{2}\right) = 10$$
$$- 15 y + 6 = 10$$
Перенесем свободное слагаемое 6 из левой части в правую со сменой знака
$$- 15 y = 4$$
$$- 15 y = 4$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-15} \left(-1 \cdot 15 y\right) = - \frac{4}{15}$$
$$y = - \frac{4}{15}$$
Т.к.
$$x = - 5 y + \frac{3}{2}$$
то
$$x = - \frac{-4}{3} + \frac{3}{2}$$
$$x = \frac{17}{6}$$
Ответ:
$$x = \frac{17}{6}$$
$$y = - \frac{4}{15}$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = \frac{17}{6}$$
=
$$\frac{17}{6}$$
=
$$y_{1} = - \frac{4}{15}$$
=
$$- \frac{4}{15}$$
=
=
$$\frac{17}{6}$$
=
2.83333333333333
$$y_{1} = - \frac{4}{15}$$
=
$$- \frac{4}{15}$$
=
-0.266666666666667
Метод Крамера
[TeX]
$$2 x + 10 y = 3$$
$$4 x + 5 y = 10$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 10 y = 3$$
$$4 x + 5 y = 10$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + 10 x_{2}\\4 x_{1} + 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 10\\4 & 5\end{matrix}\right] \right )} = -30$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{30} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 10\\10 & 5\end{matrix}\right] \right )} = \frac{17}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{30} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 3\\4 & 10\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{4}{15}$$
$$4 x + 5 y = 10$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 10 y = 3$$
$$4 x + 5 y = 10$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + 10 x_{2}\\4 x_{1} + 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 10\\4 & 5\end{matrix}\right] \right )} = -30$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{30} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 10\\10 & 5\end{matrix}\right] \right )} = \frac{17}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{30} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 3\\4 & 10\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{4}{15}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$2 x + 10 y = 3$$
$$4 x + 5 y = 10$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 10 y = 3$$
$$4 x + 5 y = 10$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 10 & 3\\4 & 5 & 10\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 10 & 3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -15 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -15 & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 10 & 3\\0 & -15 & 4\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}10\\-15\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -15 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{-8}{3} + 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & \frac{17}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & \frac{17}{3}\\0 & -15 & 4\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - \frac{17}{3} = 0$$
$$- 15 x_{2} - 4 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{17}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{4}{15}$$
$$2 x + 10 y = 3$$
$$4 x + 5 y = 10$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 10 y = 3$$
$$4 x + 5 y = 10$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 10 & 3\\4 & 5 & 10\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 10 & 3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -15 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -15 & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 10 & 3\\0 & -15 & 4\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}10\\-15\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -15 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{-8}{3} + 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & \frac{17}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & \frac{17}{3}\\0 & -15 & 4\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - \frac{17}{3} = 0$$
$$- 15 x_{2} - 4 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{17}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{4}{15}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 2.833333333333333 y1 = -0.2666666666666667