2*x+y=8 2*x-y=1
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
2*x + y = 8
$$2 x + y = 8$$
2*x - y = 1
$$2 x - y = 1$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$2 x + y = 8$$
$$2 x - y = 1$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x + y = 8$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = - y + 8$$
$$2 x = - y + 8$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(- y + 8\right)$$
$$x = - \frac{y}{2} + 4$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x - y = 1$$
Получим:
$$- y + 2 \left(- \frac{y}{2} + 4\right) = 1$$
$$- 2 y + 8 = 1$$
Перенесем свободное слагаемое 8 из левой части в правую со сменой знака
$$- 2 y = -7$$
$$- 2 y = -7$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-2} \left(-1 \cdot 2 y\right) = \frac{7}{2}$$
$$y = \frac{7}{2}$$
Т.к.
$$x = - \frac{y}{2} + 4$$
то
$$x = - \frac{7}{4} + 4$$
$$x = \frac{9}{4}$$
Ответ:
$$x = \frac{9}{4}$$
$$y = \frac{7}{2}$$
$$2 x + y = 8$$
$$2 x - y = 1$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x + y = 8$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = - y + 8$$
$$2 x = - y + 8$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(- y + 8\right)$$
$$x = - \frac{y}{2} + 4$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x - y = 1$$
Получим:
$$- y + 2 \left(- \frac{y}{2} + 4\right) = 1$$
$$- 2 y + 8 = 1$$
Перенесем свободное слагаемое 8 из левой части в правую со сменой знака
$$- 2 y = -7$$
$$- 2 y = -7$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-2} \left(-1 \cdot 2 y\right) = \frac{7}{2}$$
$$y = \frac{7}{2}$$
Т.к.
$$x = - \frac{y}{2} + 4$$
то
$$x = - \frac{7}{4} + 4$$
$$x = \frac{9}{4}$$
Ответ:
$$x = \frac{9}{4}$$
$$y = \frac{7}{2}$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = \frac{9}{4}$$
=
$$\frac{9}{4}$$
=
$$y_{1} = \frac{7}{2}$$
=
$$\frac{7}{2}$$
=
=
$$\frac{9}{4}$$
=
2.25
$$y_{1} = \frac{7}{2}$$
=
$$\frac{7}{2}$$
=
3.5
Метод Крамера
[TeX]
$$2 x + y = 8$$
$$2 x - y = 1$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + y = 8$$
$$2 x - y = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + x_{2}\\2 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1\\2 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -4$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 1\\1 & -1\end{matrix}\right] \right )} = \frac{9}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 8\\2 & 1\end{matrix}\right] \right )} = \frac{7}{2}$$
$$2 x - y = 1$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + y = 8$$
$$2 x - y = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + x_{2}\\2 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1\\2 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -4$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 1\\1 & -1\end{matrix}\right] \right )} = \frac{9}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 8\\2 & 1\end{matrix}\right] \right )} = \frac{7}{2}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$2 x + y = 8$$
$$2 x - y = 1$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + y = 8$$
$$2 x - y = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 8\\2 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 8\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & -7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & -7\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 8\\0 & -2 & -7\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & -7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{7}{2} + 8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & \frac{9}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & \frac{9}{2}\\0 & -2 & -7\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - \frac{9}{2} = 0$$
$$- 2 x_{2} + 7 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{9}{4}$$
$$x_{2} = \frac{7}{2}$$
$$2 x + y = 8$$
$$2 x - y = 1$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + y = 8$$
$$2 x - y = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 8\\2 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 8\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & -7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & -7\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 8\\0 & -2 & -7\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & -7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{7}{2} + 8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & \frac{9}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & \frac{9}{2}\\0 & -2 & -7\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - \frac{9}{2} = 0$$
$$- 2 x_{2} + 7 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{9}{4}$$
$$x_{2} = \frac{7}{2}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 2.25000000000000 y1 = 3.50000000000000