2*x-y=5 3*x+4*y=2

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

2*x - y = 5

$$2 x - y = 5$$

3*x + 4*y = 2

$$3 x + 4 y = 2$$

Подробное решение

[TeX]

Дана система ур-ний
$$2 x - y = 5$$
$$3 x + 4 y = 2$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x - y = 5$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = - -1 y + 5$$
$$2 x = y + 5$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(y + 5\right)$$
$$x = \frac{y}{2} + \frac{5}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 x + 4 y = 2$$
Получим:
$$4 y + 3 \left(\frac{y}{2} + \frac{5}{2}\right) = 2$$
$$\frac{11 y}{2} + \frac{15}{2} = 2$$
Перенесем свободное слагаемое 15/2 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{11 y}{2} = - \frac{11}{2}$$
$$\frac{11 y}{2} = - \frac{11}{2}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{11}{2} y}{\frac{11}{2}} = -1$$
$$y = -1$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{2} + \frac{5}{2}$$
то
$$x = \frac{-1}{2} + \frac{5}{2}$$
$$x = 2$$

Ответ:
$$x = 2$$
$$y = -1$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

$$y_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=

-1

Метод Крамера

[TeX]

$$2 x - y = 5$$
$$3 x + 4 y = 2$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - y = 5$$
$$3 x + 4 y = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} - x_{2}\\3 x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -1\\3 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 11$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & -1\\2 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 5\\3 & 2\end{matrix}\right] \right )} = -1$$

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$2 x - y = 5$$
$$3 x + 4 y = 2$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - y = 5$$
$$3 x + 4 y = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & 5\\3 & 4 & 2\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & 5\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-3}{2} + 4 & - \frac{15}{2} + 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{11}{2} & - \frac{11}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & 5\\0 & \frac{11}{2} & - \frac{11}{2}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{11}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{11}{2} & - \frac{11}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\\0 & \frac{11}{2} & - \frac{11}{2}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - 4 = 0$$
$$\frac{11 x_{2}}{2} + \frac{11}{2} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = 2.00000000000000
y1 = -1.00000000000000