2*x-y=5 3*x+4*y=2
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
2*x - y = 5
$$2 x - y = 5$$
3*x + 4*y = 2
$$3 x + 4 y = 2$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$2 x - y = 5$$
$$3 x + 4 y = 2$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x - y = 5$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = - -1 y + 5$$
$$2 x = y + 5$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(y + 5\right)$$
$$x = \frac{y}{2} + \frac{5}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 x + 4 y = 2$$
Получим:
$$4 y + 3 \left(\frac{y}{2} + \frac{5}{2}\right) = 2$$
$$\frac{11 y}{2} + \frac{15}{2} = 2$$
Перенесем свободное слагаемое 15/2 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{11 y}{2} = - \frac{11}{2}$$
$$\frac{11 y}{2} = - \frac{11}{2}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{11}{2} y}{\frac{11}{2}} = -1$$
$$y = -1$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{2} + \frac{5}{2}$$
то
$$x = \frac{-1}{2} + \frac{5}{2}$$
$$x = 2$$
Ответ:
$$x = 2$$
$$y = -1$$
$$2 x - y = 5$$
$$3 x + 4 y = 2$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x - y = 5$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = - -1 y + 5$$
$$2 x = y + 5$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(y + 5\right)$$
$$x = \frac{y}{2} + \frac{5}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 x + 4 y = 2$$
Получим:
$$4 y + 3 \left(\frac{y}{2} + \frac{5}{2}\right) = 2$$
$$\frac{11 y}{2} + \frac{15}{2} = 2$$
Перенесем свободное слагаемое 15/2 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{11 y}{2} = - \frac{11}{2}$$
$$\frac{11 y}{2} = - \frac{11}{2}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{11}{2} y}{\frac{11}{2}} = -1$$
$$y = -1$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{2} + \frac{5}{2}$$
то
$$x = \frac{-1}{2} + \frac{5}{2}$$
$$x = 2$$
Ответ:
$$x = 2$$
$$y = -1$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
$$y_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=
=
$$2$$
=
2
$$y_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=
-1
Метод Крамера
[TeX]
$$2 x - y = 5$$
$$3 x + 4 y = 2$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - y = 5$$
$$3 x + 4 y = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} - x_{2}\\3 x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -1\\3 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 11$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & -1\\2 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 5\\3 & 2\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
$$3 x + 4 y = 2$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - y = 5$$
$$3 x + 4 y = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} - x_{2}\\3 x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -1\\3 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 11$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & -1\\2 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 5\\3 & 2\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$2 x - y = 5$$
$$3 x + 4 y = 2$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - y = 5$$
$$3 x + 4 y = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & 5\\3 & 4 & 2\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & 5\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-3}{2} + 4 & - \frac{15}{2} + 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{11}{2} & - \frac{11}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & 5\\0 & \frac{11}{2} & - \frac{11}{2}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{11}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{11}{2} & - \frac{11}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\\0 & \frac{11}{2} & - \frac{11}{2}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - 4 = 0$$
$$\frac{11 x_{2}}{2} + \frac{11}{2} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$
$$2 x - y = 5$$
$$3 x + 4 y = 2$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - y = 5$$
$$3 x + 4 y = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & 5\\3 & 4 & 2\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & 5\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-3}{2} + 4 & - \frac{15}{2} + 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{11}{2} & - \frac{11}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & 5\\0 & \frac{11}{2} & - \frac{11}{2}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{11}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{11}{2} & - \frac{11}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\\0 & \frac{11}{2} & - \frac{11}{2}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - 4 = 0$$
$$\frac{11 x_{2}}{2} + \frac{11}{2} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 2.00000000000000 y1 = -1.00000000000000