Дана система ур-ний $$x = y - 3$$ $$2 x - 5 y = -21$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$x = y - 3$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$2 x - 5 y = -21$$ Получим: $$- 5 y + 2 \left(y - 3\right) = -21$$ $$- 3 y - 6 = -21$$ Перенесем свободное слагаемое -6 из левой части в правую со сменой знака $$- 3 y = -15$$ $$- 3 y = -15$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{1}{-3} \left(-1 \cdot 3 y\right) = 5$$ $$y = 5$$ Т.к. $$x = y - 3$$ то $$x = -3 + 5$$ $$x = 2$$
Ответ: $$x = 2$$ $$y = 5$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 2$$ = $$2$$ =
2
$$y_{1} = 5$$ = $$5$$ =
5
Метод Крамера
$$x = y - 3$$ $$2 x - 5 y = -21$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$x - y = -3$$ $$2 x - 5 y = -21$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}x_{1} - x_{2}\\2 x_{1} - 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-3\\-21\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -1\\2 & -5\end{matrix}\right] \right )} = -3$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{3} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-3 & -1\\-21 & -5\end{matrix}\right] \right )} = 2$$ $$x_{2} = - \frac{1}{3} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -3\\2 & -21\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$x = y - 3$$ $$2 x - 5 y = -21$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$x - y = -3$$ $$2 x - 5 y = -21$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}1 & -1 & -3\\2 & -5 & -21\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}1 & -1 & -3\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & -3 & -15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -3 & -15\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}1 & -1 & -3\\0 & -3 & -15\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & -3 & -15\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\\0 & -3 & -15\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$x_{1} - 2 = 0$$ $$- 3 x_{2} + 15 = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 2$$ $$x_{2} = 5$$