x=y-3 2*x-5*y=-21

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

x = y - 3

$$x = y - 3$$

2*x - 5*y = -21

$$2 x - 5 y = -21$$

Подробное решение

[TeX]

Дана система ур-ний
$$x = y - 3$$
$$2 x - 5 y = -21$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$x = y - 3$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x - 5 y = -21$$
Получим:
$$- 5 y + 2 \left(y - 3\right) = -21$$
$$- 3 y - 6 = -21$$
Перенесем свободное слагаемое -6 из левой части в правую со сменой знака
$$- 3 y = -15$$
$$- 3 y = -15$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-3} \left(-1 \cdot 3 y\right) = 5$$
$$y = 5$$
Т.к.
$$x = y - 3$$
то
$$x = -3 + 5$$
$$x = 2$$

Ответ:
$$x = 2$$
$$y = 5$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

$$y_{1} = 5$$
=
$$5$$
=

5

Метод Крамера

[TeX]

$$x = y - 3$$
$$2 x - 5 y = -21$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - y = -3$$
$$2 x - 5 y = -21$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} - x_{2}\\2 x_{1} - 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-3\\-21\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -1\\2 & -5\end{matrix}\right] \right )} = -3$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-3 & -1\\-21 & -5\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{3} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -3\\2 & -21\end{matrix}\right] \right )} = 5$$

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$x = y - 3$$
$$2 x - 5 y = -21$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - y = -3$$
$$2 x - 5 y = -21$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & -3\\2 & -5 & -21\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & -3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & -15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -3 & -15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & -3\\0 & -3 & -15\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & -15\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\\0 & -3 & -15\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 2 = 0$$
$$- 3 x_{2} + 15 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 5$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = 2.00000000000000
y1 = 5.00000000000000