3*y+x=7 y-x=5

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

3*y + x = 7

$$x + 3 y = 7$$

y - x = 5

$$- x + y = 5$$

Подробное решение

[TeX]

Дана система ур-ний
$$x + 3 y = 7$$
$$- x + y = 5$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$x + 3 y = 7$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = - 3 y + 7$$
$$x = - 3 y + 7$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- x + y = 5$$
Получим:
$$y - - 3 y + 7 = 5$$
$$4 y - 7 = 5$$
Перенесем свободное слагаемое -7 из левой части в правую со сменой знака
$$4 y = 12$$
$$4 y = 12$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{4 y}{4} = 3$$
$$y = 3$$
Т.к.
$$x = - 3 y + 7$$
то
$$x = - 9 + 7$$
$$x = -2$$

Ответ:
$$x = -2$$
$$y = 3$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$x_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=

-2

$$y_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

Метод Крамера

[TeX]

$$x + 3 y = 7$$
$$- x + y = 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 3 y = 7$$
$$- x + y = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + 3 x_{2}\\- x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 3\\-1 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 3\\5 & 1\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
$$x_{2} = \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 7\\-1 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 3$$

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$x + 3 y = 7$$
$$- x + y = 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 3 y = 7$$
$$- x + y = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 3 & 7\\-1 & 1 & 5\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 3 & 7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 4 & 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 4 & 12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 3 & 7\\0 & 4 & 12\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 4 & 12\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -2\\0 & 4 & 12\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} + 2 = 0$$
$$4 x_{2} - 12 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 3$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = -2.00000000000000
y1 = 3.00000000000000