Дана система ур-ний $$3 x - y = 11$$ $$5 x + 6 y = 26$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$3 x - y = 11$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$3 x = - -1 y + 11$$ $$3 x = y + 11$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(y + 11\right)$$ $$x = \frac{y}{3} + \frac{11}{3}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$5 x + 6 y = 26$$ Получим: $$6 y + 5 \left(\frac{y}{3} + \frac{11}{3}\right) = 26$$ $$\frac{23 y}{3} + \frac{55}{3} = 26$$ Перенесем свободное слагаемое 55/3 из левой части в правую со сменой знака $$\frac{23 y}{3} = \frac{23}{3}$$ $$\frac{23 y}{3} = \frac{23}{3}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{\frac{23}{3} y}{\frac{23}{3}} = 1$$ $$y = 1$$ Т.к. $$x = \frac{y}{3} + \frac{11}{3}$$ то $$x = \frac{1}{3} + \frac{11}{3}$$ $$x = 4$$
Ответ: $$x = 4$$ $$y = 1$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 4$$ = $$4$$ =
4
$$y_{1} = 1$$ = $$1$$ =
1
Метод Крамера
$$3 x - y = 11$$ $$5 x + 6 y = 26$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$3 x - y = 11$$ $$5 x + 6 y = 26$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}3 x_{1} - x_{2}\\5 x_{1} + 6 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -1\\5 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 23$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = \frac{1}{23} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}11 & -1\\26 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 4$$ $$x_{2} = \frac{1}{23} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 11\\5 & 26\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$3 x - y = 11$$ $$5 x + 6 y = 26$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$3 x - y = 11$$ $$5 x + 6 y = 26$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 11\\5 & 6 & 26\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 11\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-5}{3} + 6 & - \frac{55}{3} + 26\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{23}{3} & \frac{23}{3}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 11\\0 & \frac{23}{3} & \frac{23}{3}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{23}{3}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & \frac{23}{3} & \frac{23}{3}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 12\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 12\\0 & \frac{23}{3} & \frac{23}{3}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$3 x_{1} - 12 = 0$$ $$\frac{23 x_{2}}{3} - \frac{23}{3} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 4$$ $$x_{2} = 1$$