Дана система ур-ний $$a + b = 2$$ $$5 a + 2 b = 3$$
Из 1-го ур-ния выразим a $$a + b = 2$$ Перенесем слагаемое с переменной b из левой части в правую со сменой знака $$a = - b + 2$$ $$a = - b + 2$$ Подставим найденное a в 2-е ур-ние $$5 a + 2 b = 3$$ Получим: $$2 b + 5 \left(- b + 2\right) = 3$$ $$- 3 b + 10 = 3$$ Перенесем свободное слагаемое 10 из левой части в правую со сменой знака $$- 3 b = -7$$ $$- 3 b = -7$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при b $$\frac{-1 \cdot 3 b}{-1 \cdot 3 b} = - 7 \left(- \frac{1}{3 b}\right)$$ $$\frac{7}{3 b} = 1$$ Т.к. $$a = - b + 2$$ то $$a = -1 + 2$$ $$a = 1$$
Ответ: $$a = 1$$ $$\frac{7}{3 b} = 1$$
Быстрый ответ
$$b_{1} = \frac{7}{3}$$ = $$\frac{7}{3}$$ =
2.33333333333333
$$a_{1} = - \frac{1}{3}$$ = $$- \frac{1}{3}$$ =
-0.333333333333333
Метод Крамера
$$a + b = 2$$ $$5 a + 2 b = 3$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$a + b = 2$$ $$5 a + 2 b = 3$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\5 x_{1} + 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 1\\5 & 2\end{matrix}\right] \right )} = -3$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{3} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1\\3 & 2\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{1}{3}$$ $$x_{2} = - \frac{1}{3} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2\\5 & 3\end{matrix}\right] \right )} = \frac{7}{3}$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$a + b = 2$$ $$5 a + 2 b = 3$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$a + b = 2$$ $$5 a + 2 b = 3$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 2\\5 & 2 & 3\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & -3 & -7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -3 & -7\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 2\\0 & -3 & -7\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & -3 & -7\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{7}{3} + 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{1}{3}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{1}{3}\\0 & -3 & -7\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$x_{1} + \frac{1}{3} = 0$$ $$- 3 x_{2} + 7 = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = - \frac{1}{3}$$ $$x_{2} = \frac{7}{3}$$