5*x+2*y=8 3*x-y=7

Вы ввели

5*x + 2*y = 8

$$5 x + 2 y = 8$$

3*x - y = 7

$$3 x - y = 7$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$5 x + 2 y = 8$$
$$3 x - y = 7$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$5 x + 2 y = 8$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$5 x = - 2 y + 8$$
$$5 x = - 2 y + 8$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5} \left(- 2 y + 8\right)$$
$$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{8}{5}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 x - y = 7$$
Получим:
$$- y + 3 \left(- \frac{2 y}{5} + \frac{8}{5}\right) = 7$$
$$- \frac{11 y}{5} + \frac{24}{5} = 7$$
Перенесем свободное слагаемое 24/5 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{11 y}{5} = \frac{11}{5}$$
$$- \frac{11 y}{5} = \frac{11}{5}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{11}{5} y}{- \frac{11}{5}} = -1$$
$$y = -1$$
Т.к.
$$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{8}{5}$$
то
$$x = - \frac{-2}{5} + \frac{8}{5}$$
$$x = 2$$

Ответ:
$$x = 2$$
$$y = -1$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

$$y_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=

-1

Метод Крамера

$$5 x + 2 y = 8$$
$$3 x - y = 7$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 2 y = 8$$
$$3 x - y = 7$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 x_{1} + 2 x_{2}\\3 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 2\\3 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -11$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 2\\7 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 8\\3 & 7\end{matrix}\right] \right )} = -1$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$5 x + 2 y = 8$$
$$3 x - y = 7$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 2 y = 8$$
$$3 x - y = 7$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 & 2 & 8\\3 & -1 & 7\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}5 & 2 & 8\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{6}{5} - 1 & - \frac{24}{5} + 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{11}{5} & \frac{11}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 2 & 8\\0 & - \frac{11}{5} & \frac{11}{5}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\- \frac{11}{5}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{11}{5} & \frac{11}{5}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & 10\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 10\\0 & - \frac{11}{5} & \frac{11}{5}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$5 x_{1} - 10 = 0$$
$$- \frac{11 x_{2}}{5} - \frac{11}{5} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$

Численный ответ

x1 = 2.00000000000000
y1 = -1.00000000000000