Дана система ур-ний $$5 x + 2 y = 8$$ $$3 x - y = 7$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$5 x + 2 y = 8$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$5 x = - 2 y + 8$$ $$5 x = - 2 y + 8$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5} \left(- 2 y + 8\right)$$ $$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{8}{5}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$3 x - y = 7$$ Получим: $$- y + 3 \left(- \frac{2 y}{5} + \frac{8}{5}\right) = 7$$ $$- \frac{11 y}{5} + \frac{24}{5} = 7$$ Перенесем свободное слагаемое 24/5 из левой части в правую со сменой знака $$- \frac{11 y}{5} = \frac{11}{5}$$ $$- \frac{11 y}{5} = \frac{11}{5}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{-1 \frac{11}{5} y}{- \frac{11}{5}} = -1$$ $$y = -1$$ Т.к. $$x = - \frac{2 y}{5} + \frac{8}{5}$$ то $$x = - \frac{-2}{5} + \frac{8}{5}$$ $$x = 2$$
Ответ: $$x = 2$$ $$y = -1$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 2$$ = $$2$$ =
2
$$y_{1} = -1$$ = $$-1$$ =
-1
Метод Крамера
$$5 x + 2 y = 8$$ $$3 x - y = 7$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$5 x + 2 y = 8$$ $$3 x - y = 7$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}5 x_{1} + 2 x_{2}\\3 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 2\\3 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -11$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 & 2\\7 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 2$$ $$x_{2} = - \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & 8\\3 & 7\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$5 x + 2 y = 8$$ $$3 x - y = 7$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$5 x + 2 y = 8$$ $$3 x - y = 7$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}5 & 2 & 8\\3 & -1 & 7\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}5 & 2 & 8\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{6}{5} - 1 & - \frac{24}{5} + 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{11}{5} & \frac{11}{5}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}5 & 2 & 8\\0 & - \frac{11}{5} & \frac{11}{5}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}2\\- \frac{11}{5}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{11}{5} & \frac{11}{5}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 10\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 0 & 10\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}5 & 0 & 10\\0 & - \frac{11}{5} & \frac{11}{5}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$5 x_{1} - 10 = 0$$ $$- \frac{11 x_{2}}{5} - \frac{11}{5} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 2$$ $$x_{2} = -1$$