x-3*y=4 x-2*y=2
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Подробное решение
Дана система ур-ний
$$x - 3 y = 4$$
$$x - 2 y = 2$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$x - 3 y = 4$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x - 3 y + 3 y = - -1 \cdot 3 y + 4$$
$$x = 3 y + 4$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$x - 2 y = 2$$
Получим:
$$- 2 y + 3 y + 4 = 2$$
$$y + 4 = 2$$
Перенесем свободное слагаемое 4 из левой части в правую со сменой знака
$$y = -2$$
$$y = -2$$
Т.к.
$$x = 3 y + 4$$
то
$$x = -2 \cdot 3 + 4$$
$$x = -2$$
Ответ:
$$x = -2$$
$$y = -2$$
$$x - 3 y = 4$$
$$x - 2 y = 2$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$x - 3 y = 4$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x - 3 y + 3 y = - -1 \cdot 3 y + 4$$
$$x = 3 y + 4$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$x - 2 y = 2$$
Получим:
$$- 2 y + 3 y + 4 = 2$$
$$y + 4 = 2$$
Перенесем свободное слагаемое 4 из левой части в правую со сменой знака
$$y = -2$$
$$y = -2$$
Т.к.
$$x = 3 y + 4$$
то
$$x = -2 \cdot 3 + 4$$
$$x = -2$$
Ответ:
$$x = -2$$
$$y = -2$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=
$$y_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=
=
$$-2$$
=
-2
$$y_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=
-2
Метод Крамера
$$x - 3 y = 4$$
$$x - 2 y = 2$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - 3 y = 4$$
$$x - 2 y = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} - 3 x_{2}\\x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -3\\1 & -2\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -3\\2 & -2\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
$$x_{2} = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 4\\1 & 2\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
$$x - 2 y = 2$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - 3 y = 4$$
$$x - 2 y = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} - 3 x_{2}\\x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -3\\1 & -2\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -3\\2 & -2\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
$$x_{2} = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 4\\1 & 2\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$x - 3 y = 4$$
$$x - 2 y = 2$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - 3 y = 4$$
$$x - 2 y = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 4\\1 & -2 & 2\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 4\\0 & 1 & -2\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & -2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -2\\0 & 1 & -2\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} + 2 = 0$$
$$x_{2} + 2 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -2$$
$$x - 3 y = 4$$
$$x - 2 y = 2$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - 3 y = 4$$
$$x - 2 y = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 4\\1 & -2 & 2\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 4\\0 & 1 & -2\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & -2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -2\\0 & 1 & -2\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} + 2 = 0$$
$$x_{2} + 2 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -2$$
Численный ответ
[src]
x1 = -2.00000000000000 y1 = -2.00000000000000