x-3*y=4 x-2*y=2
Решение
Подробное решение
Дана система ур-ний
$$x - 3 y = 4$$
$$x - 2 y = 2$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$x - 3 y = 4$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x - 3 y + 3 y = - -1 \cdot 3 y + 4$$
$$x = 3 y + 4$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$x - 2 y = 2$$
Получим:
$$- 2 y + 3 y + 4 = 2$$
$$y + 4 = 2$$
Перенесем свободное слагаемое 4 из левой части в правую со сменой знака
$$y = -2$$
$$y = -2$$
Т.к.
$$x = 3 y + 4$$
то
$$x = -2 \cdot 3 + 4$$
$$x = -2$$
Ответ:
$$x = -2$$
$$y = -2$$
$$x - 3 y = 4$$
$$x - 2 y = 2$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$x - 3 y = 4$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x - 3 y + 3 y = - -1 \cdot 3 y + 4$$
$$x = 3 y + 4$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$x - 2 y = 2$$
Получим:
$$- 2 y + 3 y + 4 = 2$$
$$y + 4 = 2$$
Перенесем свободное слагаемое 4 из левой части в правую со сменой знака
$$y = -2$$
$$y = -2$$
Т.к.
$$x = 3 y + 4$$
то
$$x = -2 \cdot 3 + 4$$
$$x = -2$$
Ответ:
$$x = -2$$
$$y = -2$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=
$$y_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=
=
$$-2$$
=
-2
$$y_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=
-2
Метод Крамера
$$x - 3 y = 4$$
$$x - 2 y = 2$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - 3 y = 4$$
$$x - 2 y = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} - 3 x_{2}\\x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -3\\1 & -2\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -3\\2 & -2\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
$$x_{2} = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 4\\1 & 2\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
$$x - 2 y = 2$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - 3 y = 4$$
$$x - 2 y = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} - 3 x_{2}\\x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -3\\1 & -2\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -3\\2 & -2\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
$$x_{2} = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 4\\1 & 2\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$x - 3 y = 4$$
$$x - 2 y = 2$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - 3 y = 4$$
$$x - 2 y = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 4\\1 & -2 & 2\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 4\\0 & 1 & -2\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & -2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -2\\0 & 1 & -2\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} + 2 = 0$$
$$x_{2} + 2 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -2$$
$$x - 3 y = 4$$
$$x - 2 y = 2$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x - 3 y = 4$$
$$x - 2 y = 2$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 4\\1 & -2 & 2\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 4\\0 & 1 & -2\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & -2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -2\\0 & 1 & -2\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} + 2 = 0$$
$$x_{2} + 2 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -2$$
Численный ответ
[src]
x1 = -2.00000000000000 y1 = -2.00000000000000