четыре *x- ноль . шесть тысяч шестьсот шестьдесят семь *y+ два = ноль - ноль . шесть тысяч шестьсот шестьдесят семь *x+ восемь *y- четырнадцать = ноль
4 умножить на х минус 0.6667 умножить на у плюс 2 равно 0 минус 0.6667 умножить на х плюс 8 умножить на у минус 14 равно 0
четыре умножить на х минус ноль . шесть тысяч шестьсот шестьдесят семь умножить на у плюс два равно ноль минус ноль . шесть тысяч шестьсот шестьдесят семь умножить на х плюс восемь умножить на у минус четырнадцать равно ноль
Дана система ур-ний $$4 x - 0.6667 y + 2 = 0$$ $$- 0.6667 x + 8 y - 14 = 0$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$4 x - 0.6667 y + 2 = 0$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$4 x - 0.6667 y + 0.6667 y + 2 = - -1 \cdot 0.6667 y$$ $$4 x + 2 = 0.6667 y$$ Перенесем свободное слагаемое 2 из левой части в правую со сменой знака $$4 x = 0.6667 y - 2$$ $$4 x = 0.6667 y - 2$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4} \left(0.6667 y - 2\right)$$ $$x = 0.166675 y - 0.5$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$- 0.6667 x + 8 y - 14 = 0$$ Получим: $$8 y - 0.6667 \left(0.166675 y - 0.5\right) - 14 = 0$$ $$7.8888777775 y - 13.66665 = 0$$ Перенесем свободное слагаемое -13.66665 из левой части в правую со сменой знака $$7.8888777775 y = 13.66665$$ $$7.8888777775 y = 13.66665$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{7.8888777775 y}{7.8888777775} = 1.73239469357465$$ $$1 y = 1.73239469357465$$ Т.к. $$x = 0.166675 y - 0.5$$ то $$x = -0.5 + 0.166675 \cdot 1.73239469357465$$ $$x = -0.211253114448445$$
Ответ: $$x = -0.211253114448445$$ $$1 y = 1.73239469357465$$
$$4 x - 0.6667 y + 2 = 0$$ $$- 0.6667 x + 8 y - 14 = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$4 x - 0.6667 y = -2$$ $$- 0.6667 x + 8 y = 14$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}4 x_{1} - 0.6667 x_{2}\\- 0.6667 x_{1} + 8 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2\\14\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -0.6667\\-0.6667 & 8\end{matrix}\right] \right )} = 31.55551111$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = 0.0316901854802503 \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-2 & -0.6667\\14 & 8\end{matrix}\right] \right )} = -0.211253114448445$$ $$x_{2} = 0.0316901854802503 \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -2\\-0.6667 & 14\end{matrix}\right] \right )} = 1.73239469357465$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$4 x - 0.6667 y + 2 = 0$$ $$- 0.6667 x + 8 y - 14 = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$4 x - 0.6667 y = -2$$ $$- 0.6667 x + 8 y = 14$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}4 & - \frac{2}{3} & -2\\- \frac{2}{3} & 8 & 14\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}4\\- \frac{2}{3}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}4 & - \frac{2}{3} & -2\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}- \frac{2}{3} - - \frac{2}{3} & - \frac{1}{9} + 8 & - \frac{1}{3} + 14\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{71}{9} & \frac{41}{3}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}4 & - \frac{2}{3} & -2\\0 & \frac{71}{9} & \frac{41}{3}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}- \frac{2}{3}\\\frac{71}{9}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & \frac{71}{9} & \frac{41}{3}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}4 & - \frac{2}{3} - - \frac{2}{3} & -2 - - \frac{82}{71}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & - \frac{60}{71}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}4 & 0 & - \frac{60}{71}\\0 & \frac{71}{9} & \frac{41}{3}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$4 x_{1} + \frac{60}{71} = 0$$ $$\frac{71 x_{2}}{9} - \frac{41}{3} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = - \frac{15}{71}$$ $$x_{2} = \frac{123}{71}$$