4*x-0.6667*y+2=0 -0.6667*x+8*y-14=0
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
4*x - 0.6667*y + 2 = 0
$$4 x - 0.6667 y + 2 = 0$$
-0.6667*x + 8*y - 14 = 0
$$- 0.6667 x + 8 y - 14 = 0$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$4 x - 0.6667 y + 2 = 0$$
$$- 0.6667 x + 8 y - 14 = 0$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$4 x - 0.6667 y + 2 = 0$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$4 x - 0.6667 y + 0.6667 y + 2 = - -1 \cdot 0.6667 y$$
$$4 x + 2 = 0.6667 y$$
Перенесем свободное слагаемое 2 из левой части в правую со сменой знака
$$4 x = 0.6667 y - 2$$
$$4 x = 0.6667 y - 2$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4} \left(0.6667 y - 2\right)$$
$$x = 0.166675 y - 0.5$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- 0.6667 x + 8 y - 14 = 0$$
Получим:
$$8 y - 0.6667 \left(0.166675 y - 0.5\right) - 14 = 0$$
$$7.8888777775 y - 13.66665 = 0$$
Перенесем свободное слагаемое -13.66665 из левой части в правую со сменой знака
$$7.8888777775 y = 13.66665$$
$$7.8888777775 y = 13.66665$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{7.8888777775 y}{7.8888777775} = 1.73239469357465$$
$$1 y = 1.73239469357465$$
Т.к.
$$x = 0.166675 y - 0.5$$
то
$$x = -0.5 + 0.166675 \cdot 1.73239469357465$$
$$x = -0.211253114448445$$
Ответ:
$$x = -0.211253114448445$$
$$1 y = 1.73239469357465$$
$$4 x - 0.6667 y + 2 = 0$$
$$- 0.6667 x + 8 y - 14 = 0$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$4 x - 0.6667 y + 2 = 0$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$4 x - 0.6667 y + 0.6667 y + 2 = - -1 \cdot 0.6667 y$$
$$4 x + 2 = 0.6667 y$$
Перенесем свободное слагаемое 2 из левой части в правую со сменой знака
$$4 x = 0.6667 y - 2$$
$$4 x = 0.6667 y - 2$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4} \left(0.6667 y - 2\right)$$
$$x = 0.166675 y - 0.5$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- 0.6667 x + 8 y - 14 = 0$$
Получим:
$$8 y - 0.6667 \left(0.166675 y - 0.5\right) - 14 = 0$$
$$7.8888777775 y - 13.66665 = 0$$
Перенесем свободное слагаемое -13.66665 из левой части в правую со сменой знака
$$7.8888777775 y = 13.66665$$
$$7.8888777775 y = 13.66665$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{7.8888777775 y}{7.8888777775} = 1.73239469357465$$
$$1 y = 1.73239469357465$$
Т.к.
$$x = 0.166675 y - 0.5$$
то
$$x = -0.5 + 0.166675 \cdot 1.73239469357465$$
$$x = -0.211253114448445$$
Ответ:
$$x = -0.211253114448445$$
$$1 y = 1.73239469357465$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = -0.211253114448445$$
=
$$-0.211253114448445$$
=
$$y_{1} = 1.73239469357465$$
=
$$1.73239469357465$$
=
=
$$-0.211253114448445$$
=
-0.211253114448445
$$y_{1} = 1.73239469357465$$
=
$$1.73239469357465$$
=
1.73239469357465
Метод Крамера
[TeX]
$$4 x - 0.6667 y + 2 = 0$$
$$- 0.6667 x + 8 y - 14 = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - 0.6667 y = -2$$
$$- 0.6667 x + 8 y = 14$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 x_{1} - 0.6667 x_{2}\\- 0.6667 x_{1} + 8 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2\\14\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -0.6667\\-0.6667 & 8\end{matrix}\right] \right )} = 31.55551111$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = 0.0316901854802503 \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-2 & -0.6667\\14 & 8\end{matrix}\right] \right )} = -0.211253114448445$$
$$x_{2} = 0.0316901854802503 \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -2\\-0.6667 & 14\end{matrix}\right] \right )} = 1.73239469357465$$
$$- 0.6667 x + 8 y - 14 = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - 0.6667 y = -2$$
$$- 0.6667 x + 8 y = 14$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 x_{1} - 0.6667 x_{2}\\- 0.6667 x_{1} + 8 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2\\14\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -0.6667\\-0.6667 & 8\end{matrix}\right] \right )} = 31.55551111$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = 0.0316901854802503 \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-2 & -0.6667\\14 & 8\end{matrix}\right] \right )} = -0.211253114448445$$
$$x_{2} = 0.0316901854802503 \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -2\\-0.6667 & 14\end{matrix}\right] \right )} = 1.73239469357465$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$4 x - 0.6667 y + 2 = 0$$
$$- 0.6667 x + 8 y - 14 = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - 0.6667 y = -2$$
$$- 0.6667 x + 8 y = 14$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 & - \frac{2}{3} & -2\\- \frac{2}{3} & 8 & 14\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\- \frac{2}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}4 & - \frac{2}{3} & -2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{2}{3} - - \frac{2}{3} & - \frac{1}{9} + 8 & - \frac{1}{3} + 14\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{71}{9} & \frac{41}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & - \frac{2}{3} & -2\\0 & \frac{71}{9} & \frac{41}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{2}{3}\\\frac{71}{9}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{71}{9} & \frac{41}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & - \frac{2}{3} - - \frac{2}{3} & -2 - - \frac{82}{71}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & - \frac{60}{71}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & - \frac{60}{71}\\0 & \frac{71}{9} & \frac{41}{3}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$4 x_{1} + \frac{60}{71} = 0$$
$$\frac{71 x_{2}}{9} - \frac{41}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{15}{71}$$
$$x_{2} = \frac{123}{71}$$
$$4 x - 0.6667 y + 2 = 0$$
$$- 0.6667 x + 8 y - 14 = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - 0.6667 y = -2$$
$$- 0.6667 x + 8 y = 14$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 & - \frac{2}{3} & -2\\- \frac{2}{3} & 8 & 14\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\- \frac{2}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}4 & - \frac{2}{3} & -2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{2}{3} - - \frac{2}{3} & - \frac{1}{9} + 8 & - \frac{1}{3} + 14\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{71}{9} & \frac{41}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & - \frac{2}{3} & -2\\0 & \frac{71}{9} & \frac{41}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{2}{3}\\\frac{71}{9}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{71}{9} & \frac{41}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & - \frac{2}{3} - - \frac{2}{3} & -2 - - \frac{82}{71}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & - \frac{60}{71}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & - \frac{60}{71}\\0 & \frac{71}{9} & \frac{41}{3}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$4 x_{1} + \frac{60}{71} = 0$$
$$\frac{71 x_{2}}{9} - \frac{41}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = - \frac{15}{71}$$
$$x_{2} = \frac{123}{71}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = -0.2112531144484448 y1 = 1.732394693574653