два *x+y- шесть =- пять *x- семь *y+ двадцать три одиннадцать *x+ три *y- семь = четыре *x+ семнадцать
2 умножить на х плюс у минус 6 равно минус 5 умножить на х минус 7 умножить на у плюс 23 11 умножить на х плюс 3 умножить на у минус 7 равно 4 умножить на х плюс 17
два умножить на х плюс у минус шесть равно минус пять умножить на х минус семь умножить на у плюс двадцать три одиннадцать умножить на х плюс три умножить на у минус семь равно четыре умножить на х плюс семнадцать
Дана система ур-ний $$2 x + y - 6 = - 5 x - 7 y + 23$$ $$11 x + 3 y - 7 = 4 x + 17$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$2 x + y - 6 = - 5 x - 7 y + 23$$ Перенесем слагаемое с переменной x из правой части в левую со сменой знака $$2 x + y - 6 + - -1 \cdot 5 x - 7 y - - 7 y = - 7 y + 23$$ $$7 x + y - 6 = - 7 y + 23$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$7 x - 6 = - y + - 7 y + 23$$ $$7 x - 6 = - 8 y + 23$$ Перенесем свободное слагаемое -6 из левой части в правую со сменой знака $$7 x = - 8 y + 23 + 6$$ $$7 x = - 8 y + 29$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7} \left(- 8 y + 29\right)$$ $$x = - \frac{8 y}{7} + \frac{29}{7}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$11 x + 3 y - 7 = 4 x + 17$$ Получим: $$3 y + 11 \left(- \frac{8 y}{7} + \frac{29}{7}\right) - 7 = 4 \left(- \frac{8 y}{7} + \frac{29}{7}\right) + 17$$ $$- \frac{67 y}{7} + \frac{270}{7} = - \frac{32 y}{7} + \frac{235}{7}$$ Перенесем слагаемое с переменной y из правой части в левую со сменой знака $$- \frac{1}{7} \left(-1 \cdot 32 y\right) + - \frac{67 y}{7} + \frac{270}{7} = \frac{235}{7}$$ $$- 5 y + \frac{270}{7} = \frac{235}{7}$$ Перенесем свободное слагаемое 270/7 из левой части в правую со сменой знака $$- 5 y = -5$$ $$- 5 y = -5$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{1}{-5} \left(-1 \cdot 5 y\right) = 1$$ $$y = 1$$ Т.к. $$x = - \frac{8 y}{7} + \frac{29}{7}$$ то $$x = - \frac{8}{7} + \frac{29}{7}$$ $$x = 3$$
Ответ: $$x = 3$$ $$y = 1$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 3$$ = $$3$$ =
3
$$y_{1} = 1$$ = $$1$$ =
1
Метод Крамера
$$2 x + y - 6 = - 5 x - 7 y + 23$$ $$11 x + 3 y - 7 = 4 x + 17$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$7 x + 8 y = 29$$ $$7 x + 3 y = 24$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}7 x_{1} + 8 x_{2}\\7 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}29\\24\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 8\\7 & 3\end{matrix}\right] \right )} = -35$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{35} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}29 & 8\\24 & 3\end{matrix}\right] \right )} = 3$$ $$x_{2} = - \frac{1}{35} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 29\\7 & 24\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$2 x + y - 6 = - 5 x - 7 y + 23$$ $$11 x + 3 y - 7 = 4 x + 17$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$7 x + 8 y = 29$$ $$7 x + 3 y = 24$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}7 & 8 & 29\\7 & 3 & 24\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}7 & 8 & 29\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & -5 & -5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -5 & -5\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}7 & 8 & 29\\0 & -5 & -5\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}8\\-5\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & -5 & -5\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 21\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & 21\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 21\\0 & -5 & -5\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$7 x_{1} - 21 = 0$$ $$- 5 x_{2} + 5 = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 3$$ $$x_{2} = 1$$