2*x+y-6=-5*x-7*y+23 11*x+3*y-7=4*x+17

Вы ввели

2*x + y - 6 = -5*x - 7*y + 23

$$2 x + y - 6 = - 5 x - 7 y + 23$$

11*x + 3*y - 7 = 4*x + 17

$$11 x + 3 y - 7 = 4 x + 17$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$2 x + y - 6 = - 5 x - 7 y + 23$$
$$11 x + 3 y - 7 = 4 x + 17$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x + y - 6 = - 5 x - 7 y + 23$$
Перенесем слагаемое с переменной x из правой части в левую со сменой знака
$$2 x + y - 6 + - -1 \cdot 5 x - 7 y - - 7 y = - 7 y + 23$$
$$7 x + y - 6 = - 7 y + 23$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$7 x - 6 = - y + - 7 y + 23$$
$$7 x - 6 = - 8 y + 23$$
Перенесем свободное слагаемое -6 из левой части в правую со сменой знака
$$7 x = - 8 y + 23 + 6$$
$$7 x = - 8 y + 29$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7} \left(- 8 y + 29\right)$$
$$x = - \frac{8 y}{7} + \frac{29}{7}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$11 x + 3 y - 7 = 4 x + 17$$
Получим:
$$3 y + 11 \left(- \frac{8 y}{7} + \frac{29}{7}\right) - 7 = 4 \left(- \frac{8 y}{7} + \frac{29}{7}\right) + 17$$
$$- \frac{67 y}{7} + \frac{270}{7} = - \frac{32 y}{7} + \frac{235}{7}$$
Перенесем слагаемое с переменной y из правой части в левую со сменой знака
$$- \frac{1}{7} \left(-1 \cdot 32 y\right) + - \frac{67 y}{7} + \frac{270}{7} = \frac{235}{7}$$
$$- 5 y + \frac{270}{7} = \frac{235}{7}$$
Перенесем свободное слагаемое 270/7 из левой части в правую со сменой знака
$$- 5 y = -5$$
$$- 5 y = -5$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-5} \left(-1 \cdot 5 y\right) = 1$$
$$y = 1$$
Т.к.
$$x = - \frac{8 y}{7} + \frac{29}{7}$$
то
$$x = - \frac{8}{7} + \frac{29}{7}$$
$$x = 3$$

Ответ:
$$x = 3$$
$$y = 1$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

$$y_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

Метод Крамера

$$2 x + y - 6 = - 5 x - 7 y + 23$$
$$11 x + 3 y - 7 = 4 x + 17$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x + 8 y = 29$$
$$7 x + 3 y = 24$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 x_{1} + 8 x_{2}\\7 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}29\\24\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 8\\7 & 3\end{matrix}\right] \right )} = -35$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{35} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}29 & 8\\24 & 3\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
$$x_{2} = - \frac{1}{35} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 29\\7 & 24\end{matrix}\right] \right )} = 1$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$2 x + y - 6 = - 5 x - 7 y + 23$$
$$11 x + 3 y - 7 = 4 x + 17$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x + 8 y = 29$$
$$7 x + 3 y = 24$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 & 8 & 29\\7 & 3 & 24\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}7 & 8 & 29\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 & -5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -5 & -5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 8 & 29\\0 & -5 & -5\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}8\\-5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 & -5\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 21\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & 21\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 21\\0 & -5 & -5\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$7 x_{1} - 21 = 0$$
$$- 5 x_{2} + 5 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 1$$

Численный ответ

x1 = 3.00000000000000
y1 = 1.00000000000000