3*a+b=4 a-b=0
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
3*a + b = 4
$$3 a + b = 4$$
a - b = 0
$$a - b = 0$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$3 a + b = 4$$
$$a - b = 0$$
Из 1-го ур-ния выразим a
$$3 a + b = 4$$
Перенесем слагаемое с переменной b из левой части в правую со сменой знака
$$3 a = - b + 4$$
$$3 a = - b + 4$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при a
$$\frac{3 a}{3} = \frac{1}{3} \left(- b + 4\right)$$
$$a = - \frac{b}{3} + \frac{4}{3}$$
Подставим найденное a в 2-е ур-ние
$$a - b = 0$$
Получим:
$$- b + - \frac{b}{3} + \frac{4}{3} = 0$$
$$- \frac{4 b}{3} + \frac{4}{3} = 0$$
Перенесем свободное слагаемое 4/3 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{4 b}{3} = - \frac{4}{3}$$
$$- \frac{4 b}{3} = - \frac{4}{3}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при b
$$\frac{-1 \frac{4}{3} b}{-1 \frac{4}{3} b} = - \frac{1}{3} \left(-1 \cdot 3 \frac{1}{b}\right)$$
$$\frac{1}{b} = 1$$
Т.к.
$$a = - \frac{b}{3} + \frac{4}{3}$$
то
$$a = - \frac{1}{3} + \frac{4}{3}$$
$$a = 1$$
Ответ:
$$a = 1$$
$$\frac{1}{b} = 1$$
$$3 a + b = 4$$
$$a - b = 0$$
Из 1-го ур-ния выразим a
$$3 a + b = 4$$
Перенесем слагаемое с переменной b из левой части в правую со сменой знака
$$3 a = - b + 4$$
$$3 a = - b + 4$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при a
$$\frac{3 a}{3} = \frac{1}{3} \left(- b + 4\right)$$
$$a = - \frac{b}{3} + \frac{4}{3}$$
Подставим найденное a в 2-е ур-ние
$$a - b = 0$$
Получим:
$$- b + - \frac{b}{3} + \frac{4}{3} = 0$$
$$- \frac{4 b}{3} + \frac{4}{3} = 0$$
Перенесем свободное слагаемое 4/3 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{4 b}{3} = - \frac{4}{3}$$
$$- \frac{4 b}{3} = - \frac{4}{3}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при b
$$\frac{-1 \frac{4}{3} b}{-1 \frac{4}{3} b} = - \frac{1}{3} \left(-1 \cdot 3 \frac{1}{b}\right)$$
$$\frac{1}{b} = 1$$
Т.к.
$$a = - \frac{b}{3} + \frac{4}{3}$$
то
$$a = - \frac{1}{3} + \frac{4}{3}$$
$$a = 1$$
Ответ:
$$a = 1$$
$$\frac{1}{b} = 1$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$b_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
$$a_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
=
$$1$$
=
1
$$a_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
1
Метод Крамера
[TeX]
$$3 a + b = 4$$
$$a - b = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 a + b = 4$$
$$a - b = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{1} + x_{2}\\x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 1\\1 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -4$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 1\\0 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 4\\1 & 0\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$a - b = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 a + b = 4$$
$$a - b = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{1} + x_{2}\\x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 1\\1 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -4$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 1\\0 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 4\\1 & 0\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$3 a + b = 4$$
$$a - b = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 a + b = 4$$
$$a - b = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 4\\1 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 - \frac{1}{3} & - \frac{4}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 4\\0 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\- \frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\\0 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - 3 = 0$$
$$- \frac{4 x_{2}}{3} + \frac{4}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1$$
$$3 a + b = 4$$
$$a - b = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 a + b = 4$$
$$a - b = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 4\\1 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 - \frac{1}{3} & - \frac{4}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 4\\0 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\- \frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\\0 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - 3 = 0$$
$$- \frac{4 x_{2}}{3} + \frac{4}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
a1 = 1.00000000000000 b1 = 1.00000000000000