3*x-2*y=5 2*x+5*y=16

Вы ввели

3*x - 2*y = 5

$$3 x - 2 y = 5$$

2*x + 5*y = 16

$$2 x + 5 y = 16$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$3 x - 2 y = 5$$
$$2 x + 5 y = 16$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$3 x - 2 y = 5$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$3 x - 2 y + 2 y = - -1 \cdot 2 y + 5$$
$$3 x = 2 y + 5$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(2 y + 5\right)$$
$$x = \frac{2 y}{3} + \frac{5}{3}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x + 5 y = 16$$
Получим:
$$5 y + 2 \left(\frac{2 y}{3} + \frac{5}{3}\right) = 16$$
$$\frac{19 y}{3} + \frac{10}{3} = 16$$
Перенесем свободное слагаемое 10/3 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{19 y}{3} = \frac{38}{3}$$
$$\frac{19 y}{3} = \frac{38}{3}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{19}{3} y}{\frac{19}{3}} = 2$$
$$y = 2$$
Т.к.
$$x = \frac{2 y}{3} + \frac{5}{3}$$
то
$$x = \frac{4}{3} + \frac{5}{3}$$
$$x = 3$$

Ответ:
$$x = 3$$
$$y = 2$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

Метод Крамера

$$3 x - 2 y = 5$$
$$2 x + 5 y = 16$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x - 2 y = 5$$
$$2 x + 5 y = 16$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{1} - 2 x_{2}\\2 x_{1} + 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5\\16\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -2\\2 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 19$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{19} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}5 & -2\\16 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
$$x_{2} = \frac{1}{19} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 5\\2 & 16\end{matrix}\right] \right )} = 2$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$3 x - 2 y = 5$$
$$2 x + 5 y = 16$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x - 2 y = 5$$
$$2 x + 5 y = 16$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & -2 & 5\\2 & 5 & 16\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & -2 & 5\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-4}{3} + 5 & - \frac{10}{3} + 16\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{3} & \frac{38}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & -2 & 5\\0 & \frac{19}{3} & \frac{38}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-2\\\frac{19}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{19}{3} & \frac{38}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 9\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 9\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 9\\0 & \frac{19}{3} & \frac{38}{3}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - 9 = 0$$
$$\frac{19 x_{2}}{3} - \frac{38}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 2$$

Численный ответ

x1 = 3.00000000000000
y1 = 2.00000000000000