3*x1+8*x2+3*x3-x4=4 2*x1+3*x2+4*x3+x4=-4 x1-3*x2-2*x3-2*x4=3 5*x1-8*x2+4*x3+2*x4=8

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:
53 уравнение:
54 уравнение:

Примеры

Решение

Вы ввели [src]
3*x1 + 8*x2 + 3*x3 - x4 = 4
$$- x_{4} + 3 x_{3} + 3 x_{1} + 8 x_{2} = 4$$
2*x1 + 3*x2 + 4*x3 + x4 = -4
$$x_{4} + 4 x_{3} + 2 x_{1} + 3 x_{2} = -4$$
x1 - 3*x2 - 2*x3 - 2*x4 = 3
$$- 2 x_{4} + - 2 x_{3} + x_{1} - 3 x_{2} = 3$$
5*x1 - 8*x2 + 4*x3 + 2*x4 = 8
$$2 x_{4} + 4 x_{3} + 5 x_{1} - 8 x_{2} = 8$$
Быстрый ответ
$$x_{31} = - \frac{209}{27}$$
=
$$- \frac{209}{27}$$
=
-7.74074074074074

$$x_{41} = \frac{203}{27}$$
=
$$\frac{203}{27}$$
=
7.51851851851852

$$x_{11} = \frac{22}{3}$$
=
$$\frac{22}{3}$$
=
7.33333333333333

$$x_{21} = \frac{43}{27}$$
=
$$\frac{43}{27}$$
=
1.59259259259259
Метод Крамера
$$- x_{4} + 3 x_{3} + 3 x_{1} + 8 x_{2} = 4$$
$$x_{4} + 4 x_{3} + 2 x_{1} + 3 x_{2} = -4$$
$$- 2 x_{4} + - 2 x_{3} + x_{1} - 3 x_{2} = 3$$
$$2 x_{4} + 4 x_{3} + 5 x_{1} - 8 x_{2} = 8$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x_{1} + 8 x_{2} + 3 x_{3} - x_{4} = 4$$
$$2 x_{1} + 3 x_{2} + 4 x_{3} + x_{4} = -4$$
$$x_{1} - 3 x_{2} - 2 x_{3} - 2 x_{4} = 3$$
$$5 x_{1} - 8 x_{2} + 4 x_{3} + 2 x_{4} = 8$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- x_{4} + 3 x_{3} + 3 x_{1} + 8 x_{2}\\x_{4} + 4 x_{3} + 2 x_{1} + 3 x_{2}\\- 2 x_{4} + - 2 x_{3} + x_{1} - 3 x_{2}\\2 x_{4} + 4 x_{3} + 5 x_{1} - 8 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\-4\\3\\8\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 8 & 3 & -1\\2 & 3 & 4 & 1\\1 & -3 & -2 & -2\\5 & -8 & 4 & 2\end{matrix}\right] \right )} = 135$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{135} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 8 & 3 & -1\\-4 & 3 & 4 & 1\\3 & -3 & -2 & -2\\8 & -8 & 4 & 2\end{matrix}\right] \right )} = \frac{22}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{135} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 4 & 3 & -1\\2 & -4 & 4 & 1\\1 & 3 & -2 & -2\\5 & 8 & 4 & 2\end{matrix}\right] \right )} = \frac{43}{27}$$
$$x_{3} = \frac{1}{135} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 8 & 4 & -1\\2 & 3 & -4 & 1\\1 & -3 & 3 & -2\\5 & -8 & 8 & 2\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{209}{27}$$
$$x_{4} = \frac{1}{135} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 8 & 3 & 4\\2 & 3 & 4 & -4\\1 & -3 & -2 & 3\\5 & -8 & 4 & 8\end{matrix}\right] \right )} = \frac{203}{27}$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$- x_{4} + 3 x_{3} + 3 x_{1} + 8 x_{2} = 4$$
$$x_{4} + 4 x_{3} + 2 x_{1} + 3 x_{2} = -4$$
$$- 2 x_{4} + - 2 x_{3} + x_{1} - 3 x_{2} = 3$$
$$2 x_{4} + 4 x_{3} + 5 x_{1} - 8 x_{2} = 8$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x_{1} + 8 x_{2} + 3 x_{3} - x_{4} = 4$$
$$2 x_{1} + 3 x_{2} + 4 x_{3} + x_{4} = -4$$
$$x_{1} - 3 x_{2} - 2 x_{3} - 2 x_{4} = 3$$
$$5 x_{1} - 8 x_{2} + 4 x_{3} + 2 x_{4} = 8$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & 8 & 3 & -1 & 4\\2 & 3 & 4 & 1 & -4\\1 & -3 & -2 & -2 & 3\\5 & -8 & 4 & 2 & 8\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\2\\1\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & 8 & 3 & -1 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{16}{3} + 3 & 2 & - \frac{-2}{3} + 1 & -4 - \frac{8}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{3} & 2 & \frac{5}{3} & - \frac{20}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 8 & 3 & -1 & 4\\0 & - \frac{7}{3} & 2 & \frac{5}{3} & - \frac{20}{3}\\1 & -3 & -2 & -2 & 3\\5 & -8 & 4 & 2 & 8\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 - \frac{8}{3} & -3 & -2 - - \frac{1}{3} & - \frac{4}{3} + 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{3} & -3 & - \frac{5}{3} & \frac{5}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 8 & 3 & -1 & 4\\0 & - \frac{7}{3} & 2 & \frac{5}{3} & - \frac{20}{3}\\0 & - \frac{17}{3} & -3 & - \frac{5}{3} & \frac{5}{3}\\5 & -8 & 4 & 2 & 8\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{40}{3} - 8 & -1 & - \frac{-5}{3} + 2 & - \frac{20}{3} + 8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{64}{3} & -1 & \frac{11}{3} & \frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 8 & 3 & -1 & 4\\0 & - \frac{7}{3} & 2 & \frac{5}{3} & - \frac{20}{3}\\0 & - \frac{17}{3} & -3 & - \frac{5}{3} & \frac{5}{3}\\0 & - \frac{64}{3} & -1 & \frac{11}{3} & \frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}8\\- \frac{7}{3}\\- \frac{17}{3}\\- \frac{64}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{3} & 2 & \frac{5}{3} & - \frac{20}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 3 - - \frac{48}{7} & -1 - - \frac{40}{7} & - \frac{160}{7} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{69}{7} & \frac{33}{7} & - \frac{132}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{69}{7} & \frac{33}{7} & - \frac{132}{7}\\0 & - \frac{7}{3} & 2 & \frac{5}{3} & - \frac{20}{3}\\0 & - \frac{17}{3} & -3 & - \frac{5}{3} & \frac{5}{3}\\0 & - \frac{64}{3} & -1 & \frac{11}{3} & \frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{3} - - \frac{17}{3} & - \frac{34}{7} - 3 & - \frac{85}{21} - \frac{5}{3} & \frac{5}{3} - - \frac{340}{21}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{55}{7} & - \frac{40}{7} & \frac{125}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{69}{7} & \frac{33}{7} & - \frac{132}{7}\\0 & - \frac{7}{3} & 2 & \frac{5}{3} & - \frac{20}{3}\\0 & 0 & - \frac{55}{7} & - \frac{40}{7} & \frac{125}{7}\\0 & - \frac{64}{3} & -1 & \frac{11}{3} & \frac{4}{3}\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{64}{3} - - \frac{64}{3} & - \frac{128}{7} - 1 & - \frac{320}{21} + \frac{11}{3} & \frac{4}{3} - - \frac{1280}{21}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{135}{7} & - \frac{81}{7} & \frac{436}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{69}{7} & \frac{33}{7} & - \frac{132}{7}\\0 & - \frac{7}{3} & 2 & \frac{5}{3} & - \frac{20}{3}\\0 & 0 & - \frac{55}{7} & - \frac{40}{7} & \frac{125}{7}\\0 & 0 & - \frac{135}{7} & - \frac{81}{7} & \frac{436}{7}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{69}{7}\\2\\- \frac{55}{7}\\- \frac{135}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{55}{7} & - \frac{40}{7} & \frac{125}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & - \frac{69}{7} + \frac{69}{7} & - \frac{552}{77} + \frac{33}{7} & - \frac{132}{7} - - \frac{1725}{77}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & - \frac{27}{11} & \frac{39}{11}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & - \frac{27}{11} & \frac{39}{11}\\0 & - \frac{7}{3} & 2 & \frac{5}{3} & - \frac{20}{3}\\0 & 0 & - \frac{55}{7} & - \frac{40}{7} & \frac{125}{7}\\0 & 0 & - \frac{135}{7} & - \frac{81}{7} & \frac{436}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{3} & 0 & - \frac{16}{11} + \frac{5}{3} & - \frac{20}{3} - - \frac{50}{11}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{3} & 0 & \frac{7}{33} & - \frac{70}{33}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & - \frac{27}{11} & \frac{39}{11}\\0 & - \frac{7}{3} & 0 & \frac{7}{33} & - \frac{70}{33}\\0 & 0 & - \frac{55}{7} & - \frac{40}{7} & \frac{125}{7}\\0 & 0 & - \frac{135}{7} & - \frac{81}{7} & \frac{436}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{135}{7} - - \frac{135}{7} & - \frac{81}{7} - - \frac{1080}{77} & - \frac{3375}{77} + \frac{436}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{27}{11} & \frac{203}{11}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & - \frac{27}{11} & \frac{39}{11}\\0 & - \frac{7}{3} & 0 & \frac{7}{33} & - \frac{70}{33}\\0 & 0 & - \frac{55}{7} & - \frac{40}{7} & \frac{125}{7}\\0 & 0 & 0 & \frac{27}{11} & \frac{203}{11}\end{matrix}\right]$$
В 4 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{27}{11}\\\frac{7}{33}\\- \frac{40}{7}\\\frac{27}{11}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 4 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{27}{11} & \frac{203}{11}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & - \frac{27}{11} - - \frac{27}{11} & \frac{39}{11} - - \frac{203}{11}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 0 & 22\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 0 & 22\\0 & - \frac{7}{3} & 0 & \frac{7}{33} & - \frac{70}{33}\\0 & 0 & - \frac{55}{7} & - \frac{40}{7} & \frac{125}{7}\\0 & 0 & 0 & \frac{27}{11} & \frac{203}{11}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{3} & 0 & - \frac{7}{33} + \frac{7}{33} & - \frac{70}{33} - \frac{1421}{891}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{3} & 0 & 0 & - \frac{301}{81}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 0 & 22\\0 & - \frac{7}{3} & 0 & 0 & - \frac{301}{81}\\0 & 0 & - \frac{55}{7} & - \frac{40}{7} & \frac{125}{7}\\0 & 0 & 0 & \frac{27}{11} & \frac{203}{11}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{55}{7} & - \frac{40}{7} - - \frac{40}{7} & \frac{125}{7} - - \frac{1160}{27}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{55}{7} & 0 & \frac{11495}{189}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 0 & 22\\0 & - \frac{7}{3} & 0 & 0 & - \frac{301}{81}\\0 & 0 & - \frac{55}{7} & 0 & \frac{11495}{189}\\0 & 0 & 0 & \frac{27}{11} & \frac{203}{11}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - 22 = 0$$
$$- \frac{7 x_{2}}{3} + \frac{301}{81} = 0$$
$$- \frac{55 x_{3}}{7} - \frac{11495}{189} = 0$$
$$\frac{27 x_{4}}{11} - \frac{203}{11} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{22}{3}$$
$$x_{2} = \frac{43}{27}$$
$$x_{3} = - \frac{209}{27}$$
$$x_{4} = \frac{203}{27}$$
Численный ответ [src]
x11 = 7.333333333333333
x21 = 1.592592592592593
x31 = -7.740740740740741
x41 = 7.518518518518519