3*x+y=7 6*x-4*y=8

Вы ввели

3*x + y = 7

$$3 x + y = 7$$

6*x - 4*y = 8

$$6 x - 4 y = 8$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$3 x + y = 7$$
$$6 x - 4 y = 8$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$3 x + y = 7$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$3 x = - y + 7$$
$$3 x = - y + 7$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(- y + 7\right)$$
$$x = - \frac{y}{3} + \frac{7}{3}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$6 x - 4 y = 8$$
Получим:
$$- 4 y + 6 \left(- \frac{y}{3} + \frac{7}{3}\right) = 8$$
$$- 6 y + 14 = 8$$
Перенесем свободное слагаемое 14 из левой части в правую со сменой знака
$$- 6 y = -6$$
$$- 6 y = -6$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-6} \left(-1 \cdot 6 y\right) = 1$$
$$y = 1$$
Т.к.
$$x = - \frac{y}{3} + \frac{7}{3}$$
то
$$x = - \frac{1}{3} + \frac{7}{3}$$
$$x = 2$$

Ответ:
$$x = 2$$
$$y = 1$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

$$y_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

Метод Крамера

$$3 x + y = 7$$
$$6 x - 4 y = 8$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + y = 7$$
$$6 x - 4 y = 8$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{1} + x_{2}\\6 x_{1} - 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 1\\6 & -4\end{matrix}\right] \right )} = -18$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{18} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 1\\8 & -4\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{18} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 7\\6 & 8\end{matrix}\right] \right )} = 1$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$3 x + y = 7$$
$$6 x - 4 y = 8$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + y = 7$$
$$6 x - 4 y = 8$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 7\\6 & -4 & 8\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -6 & -6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -6 & -6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 1 & 7\\0 & -6 & -6\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -6 & -6\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 6\\0 & -6 & -6\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - 6 = 0$$
$$- 6 x_{2} + 6 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 1$$

Численный ответ

x1 = 2.00000000000000
y1 = 1.00000000000000