Дана система ур-ний $$3 x + 2 y = 4$$ $$5 x - 2 y = 4$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$3 x + 2 y = 4$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$3 x = - 2 y + 4$$ $$3 x = - 2 y + 4$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(- 2 y + 4\right)$$ $$x = - \frac{2 y}{3} + \frac{4}{3}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$5 x - 2 y = 4$$ Получим: $$- 2 y + 5 \left(- \frac{2 y}{3} + \frac{4}{3}\right) = 4$$ $$- \frac{16 y}{3} + \frac{20}{3} = 4$$ Перенесем свободное слагаемое 20/3 из левой части в правую со сменой знака $$- \frac{16 y}{3} = - \frac{8}{3}$$ $$- \frac{16 y}{3} = - \frac{8}{3}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{-1 \frac{16}{3} y}{- \frac{16}{3}} = \frac{1}{2}$$ $$y = \frac{1}{2}$$ Т.к. $$x = - \frac{2 y}{3} + \frac{4}{3}$$ то $$x = - \frac{1}{3} + \frac{4}{3}$$ $$x = 1$$
Ответ: $$x = 1$$ $$y = \frac{1}{2}$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 1$$ = $$1$$ =
1
$$y_{1} = \frac{1}{2}$$ = $$\frac{1}{2}$$ =
0.5
Метод Крамера
$$3 x + 2 y = 4$$ $$5 x - 2 y = 4$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$3 x + 2 y = 4$$ $$5 x - 2 y = 4$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}3 x_{1} + 2 x_{2}\\5 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 2\\5 & -2\end{matrix}\right] \right )} = -16$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{16} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 2\\4 & -2\end{matrix}\right] \right )} = 1$$ $$x_{2} = - \frac{1}{16} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 4\\5 & 4\end{matrix}\right] \right )} = \frac{1}{2}$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$3 x + 2 y = 4$$ $$5 x - 2 y = 4$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$3 x + 2 y = 4$$ $$5 x - 2 y = 4$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 4\\5 & -2 & 4\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 4\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{10}{3} - 2 & - \frac{20}{3} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{16}{3} & - \frac{8}{3}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 4\\0 & - \frac{16}{3} & - \frac{8}{3}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}2\\- \frac{16}{3}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{16}{3} & - \frac{8}{3}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\\0 & - \frac{16}{3} & - \frac{8}{3}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$3 x_{1} - 3 = 0$$ $$- \frac{16 x_{2}}{3} + \frac{8}{3} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 1$$ $$x_{2} = \frac{1}{2}$$