3*x+2*y=4 5*x-2*y=4

Вы ввели

3*x + 2*y = 4

$$3 x + 2 y = 4$$

5*x - 2*y = 4

$$5 x - 2 y = 4$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$3 x + 2 y = 4$$
$$5 x - 2 y = 4$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$3 x + 2 y = 4$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$3 x = - 2 y + 4$$
$$3 x = - 2 y + 4$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(- 2 y + 4\right)$$
$$x = - \frac{2 y}{3} + \frac{4}{3}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$5 x - 2 y = 4$$
Получим:
$$- 2 y + 5 \left(- \frac{2 y}{3} + \frac{4}{3}\right) = 4$$
$$- \frac{16 y}{3} + \frac{20}{3} = 4$$
Перенесем свободное слагаемое 20/3 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{16 y}{3} = - \frac{8}{3}$$
$$- \frac{16 y}{3} = - \frac{8}{3}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{16}{3} y}{- \frac{16}{3}} = \frac{1}{2}$$
$$y = \frac{1}{2}$$
Т.к.
$$x = - \frac{2 y}{3} + \frac{4}{3}$$
то
$$x = - \frac{1}{3} + \frac{4}{3}$$
$$x = 1$$

Ответ:
$$x = 1$$
$$y = \frac{1}{2}$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$y_{1} = \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
=

0.5

Метод Крамера

$$3 x + 2 y = 4$$
$$5 x - 2 y = 4$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 2 y = 4$$
$$5 x - 2 y = 4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{1} + 2 x_{2}\\5 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 2\\5 & -2\end{matrix}\right] \right )} = -16$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{16} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 2\\4 & -2\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{16} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 4\\5 & 4\end{matrix}\right] \right )} = \frac{1}{2}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$3 x + 2 y = 4$$
$$5 x - 2 y = 4$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 2 y = 4$$
$$5 x - 2 y = 4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 4\\5 & -2 & 4\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{10}{3} - 2 & - \frac{20}{3} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{16}{3} & - \frac{8}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 2 & 4\\0 & - \frac{16}{3} & - \frac{8}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\- \frac{16}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{16}{3} & - \frac{8}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 3\\0 & - \frac{16}{3} & - \frac{8}{3}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - 3 = 0$$
$$- \frac{16 x_{2}}{3} + \frac{8}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$

Численный ответ

x1 = 1.00000000000000
y1 = 0.500000000000000