Дана система ур-ний $$x - 3 y = 6$$ $$- 5 x + 2 y = -4$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$x - 3 y = 6$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$x - 3 y + 3 y = - -1 \cdot 3 y + 6$$ $$x = 3 y + 6$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$- 5 x + 2 y = -4$$ Получим: $$2 y - 15 y + 30 = -4$$ $$- 13 y - 30 = -4$$ Перенесем свободное слагаемое -30 из левой части в правую со сменой знака $$- 13 y = 26$$ $$- 13 y = 26$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{1}{-13} \left(-1 \cdot 13 y\right) = -2$$ $$y = -2$$ Т.к. $$x = 3 y + 6$$ то $$x = -2 \cdot 3 + 6$$ $$x = 0$$
Ответ: $$x = 0$$ $$y = -2$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 0$$ = $$0$$ =
0
$$y_{1} = -2$$ = $$-2$$ =
-2
Метод Крамера
$$x - 3 y = 6$$ $$- 5 x + 2 y = -4$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$x - 3 y = 6$$ $$- 5 x + 2 y = -4$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}x_{1} - 3 x_{2}\\- 5 x_{1} + 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -3\\-5 & 2\end{matrix}\right] \right )} = -13$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{13} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}6 & -3\\-4 & 2\end{matrix}\right] \right )} = 0$$ $$x_{2} = - \frac{1}{13} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 6\\-5 & -4\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$x - 3 y = 6$$ $$- 5 x + 2 y = -4$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$x - 3 y = 6$$ $$- 5 x + 2 y = -4$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 6\\-5 & 2 & -4\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 6\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & -13 & 26\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -13 & 26\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}1 & -3 & 6\\0 & -13 & 26\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & -13 & 26\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & -13 & 26\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$x_{1} = 0$$ $$- 13 x_{2} - 26 = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 0$$ $$x_{2} = -2$$