3*x+4*y=9 2*x-5*y=6

Вы ввели

3*x + 4*y = 9

$$3 x + 4 y = 9$$

2*x - 5*y = 6

$$2 x - 5 y = 6$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$3 x + 4 y = 9$$
$$2 x - 5 y = 6$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$3 x + 4 y = 9$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$3 x = - 4 y + 9$$
$$3 x = - 4 y + 9$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(- 4 y + 9\right)$$
$$x = - \frac{4 y}{3} + 3$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x - 5 y = 6$$
Получим:
$$- 5 y + 2 \left(- \frac{4 y}{3} + 3\right) = 6$$
$$- \frac{23 y}{3} + 6 = 6$$
Перенесем свободное слагаемое 6 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{23 y}{3} = 0$$
$$- \frac{23 y}{3} = 0$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{23}{3} y}{- \frac{23}{3}} = 0$$
$$y = 0$$
Т.к.
$$x = - \frac{4 y}{3} + 3$$
то
$$x = - 0 + 3$$
$$x = 3$$

Ответ:
$$x = 3$$
$$y = 0$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

$$y_{1} = 0$$
=
$$0$$
=

0

Метод Крамера

$$3 x + 4 y = 9$$
$$2 x - 5 y = 6$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 4 y = 9$$
$$2 x - 5 y = 6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{1} + 4 x_{2}\\2 x_{1} - 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 4\\2 & -5\end{matrix}\right] \right )} = -23$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{23} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}9 & 4\\6 & -5\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
$$x_{2} = - \frac{1}{23} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 9\\2 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 0$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$3 x + 4 y = 9$$
$$2 x - 5 y = 6$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 4 y = 9$$
$$2 x - 5 y = 6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & 4 & 9\\2 & -5 & 6\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & 4 & 9\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 - \frac{8}{3} & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{23}{3} & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 4 & 9\\0 & - \frac{23}{3} & 0\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\- \frac{23}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{23}{3} & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 9\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 9\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 9\\0 & - \frac{23}{3} & 0\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - 9 = 0$$
$$- \frac{23 x_{2}}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 0$$

Численный ответ

x1 = 3.00000000000000
y1 = -1.033975765691285e-25

x2 = 3.00000000000000
y2 = 5.169878828456423e-26

x3 = 3.00000000000000
y3 = 0.0

x4 = 3.00000000000000
y4 = 2.067951531382569e-25

x5 = 3.00000000000000
y5 = 1.033975765691285e-25

x6 = 3.00000000000000
y6 = 2.584939414228211e-26