2*(3*x-7*y)-5*x+18*y=0 3*(-3*x+6*y)+13*x-25*y=-23
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
2*(3*x - 7*y) - 5*x + 18*y = 0
$$18 y + - 5 x + 2 \left(3 x - 7 y\right) = 0$$
3*(-3*x + 6*y) + 13*x - 25*y = -23
$$- 25 y + 13 x + 3 \left(- 3 x + 6 y\right) = -23$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$18 y + - 5 x + 2 \left(3 x - 7 y\right) = 0$$
$$- 25 y + 13 x + 3 \left(- 3 x + 6 y\right) = -23$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$18 y + - 5 x + 2 \left(3 x - 7 y\right) = 0$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$- 5 x + 6 x = - -1 x - - 5 x - 18 y - 6 x - 14 y$$
$$x = - 4 y$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- 25 y + 13 x + 3 \left(- 3 x + 6 y\right) = -23$$
Получим:
$$- 25 y + 13 \left(- 4 y\right) + 3 \left(6 y - - 12 y\right) = -23$$
$$- 23 y = -23$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-23} \left(-1 \cdot 23 y\right) = 1$$
$$y = 1$$
Т.к.
$$x = - 4 y$$
то
$$x = -4$$
$$x = -4$$
Ответ:
$$x = -4$$
$$y = 1$$
$$18 y + - 5 x + 2 \left(3 x - 7 y\right) = 0$$
$$- 25 y + 13 x + 3 \left(- 3 x + 6 y\right) = -23$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$18 y + - 5 x + 2 \left(3 x - 7 y\right) = 0$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$- 5 x + 6 x = - -1 x - - 5 x - 18 y - 6 x - 14 y$$
$$x = - 4 y$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- 25 y + 13 x + 3 \left(- 3 x + 6 y\right) = -23$$
Получим:
$$- 25 y + 13 \left(- 4 y\right) + 3 \left(6 y - - 12 y\right) = -23$$
$$- 23 y = -23$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-23} \left(-1 \cdot 23 y\right) = 1$$
$$y = 1$$
Т.к.
$$x = - 4 y$$
то
$$x = -4$$
$$x = -4$$
Ответ:
$$x = -4$$
$$y = 1$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = -4$$
=
$$-4$$
=
$$y_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
=
$$-4$$
=
-4
$$y_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
1
Метод Крамера
[TeX]
$$18 y + - 5 x + 2 \left(3 x - 7 y\right) = 0$$
$$- 25 y + 13 x + 3 \left(- 3 x + 6 y\right) = -23$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 4 y = 0$$
$$4 x - 7 y = -23$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + 4 x_{2}\\4 x_{1} - 7 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\-23\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 4\\4 & -7\end{matrix}\right] \right )} = -23$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{23} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & 4\\-23 & -7\end{matrix}\right] \right )} = -4$$
$$x_{2} = - \frac{1}{23} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 0\\4 & -23\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$- 25 y + 13 x + 3 \left(- 3 x + 6 y\right) = -23$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 4 y = 0$$
$$4 x - 7 y = -23$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + 4 x_{2}\\4 x_{1} - 7 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\-23\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 4\\4 & -7\end{matrix}\right] \right )} = -23$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{23} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & 4\\-23 & -7\end{matrix}\right] \right )} = -4$$
$$x_{2} = - \frac{1}{23} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 0\\4 & -23\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$18 y + - 5 x + 2 \left(3 x - 7 y\right) = 0$$
$$- 25 y + 13 x + 3 \left(- 3 x + 6 y\right) = -23$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 4 y = 0$$
$$4 x - 7 y = -23$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 4 & 0\\4 & -7 & -23\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 4 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -23 & -23\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -23 & -23\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 4 & 0\\0 & -23 & -23\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\-23\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -23 & -23\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & -4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -4\\0 & -23 & -23\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} + 4 = 0$$
$$- 23 x_{2} + 23 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 1$$
$$18 y + - 5 x + 2 \left(3 x - 7 y\right) = 0$$
$$- 25 y + 13 x + 3 \left(- 3 x + 6 y\right) = -23$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 4 y = 0$$
$$4 x - 7 y = -23$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 4 & 0\\4 & -7 & -23\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 4 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -23 & -23\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -23 & -23\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 4 & 0\\0 & -23 & -23\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\-23\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -23 & -23\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & -4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -4\\0 & -23 & -23\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} + 4 = 0$$
$$- 23 x_{2} + 23 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 1$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = -4.00000000000000 y1 = 1.00000000000000