5*x/4+y-27/4=0 2*x/5-y+3/5=0
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
5*x 27 --- + y - -- = 0 4 4
$$\frac{5 x}{4} + y - \frac{27}{4} = 0$$
2*x 3 --- - y + - = 0 5 5
$$\frac{2 x}{5} - y + \frac{3}{5} = 0$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$\frac{5 x}{4} + y - \frac{27}{4} = 0$$
$$\frac{2 x}{5} - y + \frac{3}{5} = 0$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$\frac{5 x}{4} + y - \frac{27}{4} = 0$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{5 x}{4} - \frac{27}{4} = - \frac{1}{4} \left(-1 \cdot 5 x\right) - \frac{5 x}{4} - y$$
$$\frac{5 x}{4} - \frac{27}{4} = - y$$
Перенесем свободное слагаемое -27/4 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{5 x}{4} = - y + \frac{27}{4}$$
$$\frac{5 x}{4} = - y + \frac{27}{4}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{\frac{5}{4} x}{\frac{5}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} \left(- y + \frac{27}{4}\right)$$
$$x = - \frac{4 y}{5} + \frac{27}{5}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$\frac{2 x}{5} - y + \frac{3}{5} = 0$$
Получим:
$$- y + \frac{2}{5} \left(- \frac{4 y}{5} + \frac{27}{5}\right) + \frac{3}{5} = 0$$
$$- \frac{33 y}{25} + \frac{69}{25} = 0$$
Перенесем свободное слагаемое 69/25 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{33 y}{25} = - \frac{69}{25}$$
$$- \frac{33 y}{25} = - \frac{69}{25}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{33}{25} y}{- \frac{33}{25}} = \frac{23}{11}$$
$$y = \frac{23}{11}$$
Т.к.
$$x = - \frac{4 y}{5} + \frac{27}{5}$$
то
$$x = - \frac{92}{55} + \frac{27}{5}$$
$$x = \frac{41}{11}$$
Ответ:
$$x = \frac{41}{11}$$
$$y = \frac{23}{11}$$
$$\frac{5 x}{4} + y - \frac{27}{4} = 0$$
$$\frac{2 x}{5} - y + \frac{3}{5} = 0$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$\frac{5 x}{4} + y - \frac{27}{4} = 0$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{5 x}{4} - \frac{27}{4} = - \frac{1}{4} \left(-1 \cdot 5 x\right) - \frac{5 x}{4} - y$$
$$\frac{5 x}{4} - \frac{27}{4} = - y$$
Перенесем свободное слагаемое -27/4 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{5 x}{4} = - y + \frac{27}{4}$$
$$\frac{5 x}{4} = - y + \frac{27}{4}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{\frac{5}{4} x}{\frac{5}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} \left(- y + \frac{27}{4}\right)$$
$$x = - \frac{4 y}{5} + \frac{27}{5}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$\frac{2 x}{5} - y + \frac{3}{5} = 0$$
Получим:
$$- y + \frac{2}{5} \left(- \frac{4 y}{5} + \frac{27}{5}\right) + \frac{3}{5} = 0$$
$$- \frac{33 y}{25} + \frac{69}{25} = 0$$
Перенесем свободное слагаемое 69/25 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{33 y}{25} = - \frac{69}{25}$$
$$- \frac{33 y}{25} = - \frac{69}{25}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{33}{25} y}{- \frac{33}{25}} = \frac{23}{11}$$
$$y = \frac{23}{11}$$
Т.к.
$$x = - \frac{4 y}{5} + \frac{27}{5}$$
то
$$x = - \frac{92}{55} + \frac{27}{5}$$
$$x = \frac{41}{11}$$
Ответ:
$$x = \frac{41}{11}$$
$$y = \frac{23}{11}$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = \frac{41}{11}$$
=
$$\frac{41}{11}$$
=
$$y_{1} = \frac{23}{11}$$
=
$$\frac{23}{11}$$
=
=
$$\frac{41}{11}$$
=
3.72727272727273
$$y_{1} = \frac{23}{11}$$
=
$$\frac{23}{11}$$
=
2.09090909090909
Метод Крамера
[TeX]
$$\frac{5 x}{4} + y - \frac{27}{4} = 0$$
$$\frac{2 x}{5} - y + \frac{3}{5} = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{5 x}{4} + y = \frac{27}{4}$$
$$\frac{2 x}{5} - y = - \frac{3}{5}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}\frac{5 x_{1}}{4} + x_{2}\\\frac{2 x_{1}}{5} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{27}{4}\\- \frac{3}{5}\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{5}{4} & 1\\\frac{2}{5} & -1\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{33}{20}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{20}{33} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{27}{4} & 1\\- \frac{3}{5} & -1\end{matrix}\right] \right )} = \frac{41}{11}$$
$$x_{2} = - \frac{20}{33} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{5}{4} & \frac{27}{4}\\\frac{2}{5} & - \frac{3}{5}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{23}{11}$$
$$\frac{2 x}{5} - y + \frac{3}{5} = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{5 x}{4} + y = \frac{27}{4}$$
$$\frac{2 x}{5} - y = - \frac{3}{5}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}\frac{5 x_{1}}{4} + x_{2}\\\frac{2 x_{1}}{5} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{27}{4}\\- \frac{3}{5}\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{5}{4} & 1\\\frac{2}{5} & -1\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{33}{20}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{20}{33} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{27}{4} & 1\\- \frac{3}{5} & -1\end{matrix}\right] \right )} = \frac{41}{11}$$
$$x_{2} = - \frac{20}{33} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{5}{4} & \frac{27}{4}\\\frac{2}{5} & - \frac{3}{5}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{23}{11}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$\frac{5 x}{4} + y - \frac{27}{4} = 0$$
$$\frac{2 x}{5} - y + \frac{3}{5} = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{5 x}{4} + y = \frac{27}{4}$$
$$\frac{2 x}{5} - y = - \frac{3}{5}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}\frac{5}{4} & 1 & \frac{27}{4}\\\frac{2}{5} & -1 & - \frac{3}{5}\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{5}{4}\\\frac{2}{5}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{5}{4} & 1 & \frac{27}{4}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{2}{5} + \frac{2}{5} & -1 - \frac{8}{25} & - \frac{54}{25} - \frac{3}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{33}{25} & - \frac{69}{25}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{5}{4} & 1 & \frac{27}{4}\\0 & - \frac{33}{25} & - \frac{69}{25}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\- \frac{33}{25}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{33}{25} & - \frac{69}{25}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{5}{4} & 0 & - \frac{23}{11} + \frac{27}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{5}{4} & 0 & \frac{205}{44}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{5}{4} & 0 & \frac{205}{44}\\0 & - \frac{33}{25} & - \frac{69}{25}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$\frac{5 x_{1}}{4} - \frac{205}{44} = 0$$
$$- \frac{33 x_{2}}{25} + \frac{69}{25} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{41}{11}$$
$$x_{2} = \frac{23}{11}$$
$$\frac{5 x}{4} + y - \frac{27}{4} = 0$$
$$\frac{2 x}{5} - y + \frac{3}{5} = 0$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{5 x}{4} + y = \frac{27}{4}$$
$$\frac{2 x}{5} - y = - \frac{3}{5}$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}\frac{5}{4} & 1 & \frac{27}{4}\\\frac{2}{5} & -1 & - \frac{3}{5}\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{5}{4}\\\frac{2}{5}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{5}{4} & 1 & \frac{27}{4}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{2}{5} + \frac{2}{5} & -1 - \frac{8}{25} & - \frac{54}{25} - \frac{3}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{33}{25} & - \frac{69}{25}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{5}{4} & 1 & \frac{27}{4}\\0 & - \frac{33}{25} & - \frac{69}{25}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\- \frac{33}{25}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{33}{25} & - \frac{69}{25}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{5}{4} & 0 & - \frac{23}{11} + \frac{27}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{5}{4} & 0 & \frac{205}{44}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{5}{4} & 0 & \frac{205}{44}\\0 & - \frac{33}{25} & - \frac{69}{25}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$\frac{5 x_{1}}{4} - \frac{205}{44} = 0$$
$$- \frac{33 x_{2}}{25} + \frac{69}{25} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{41}{11}$$
$$x_{2} = \frac{23}{11}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 3.727272727272727 y1 = 2.090909090909091