2*x+10*y=23 4*x-5*y=3

Вы ввели

2*x + 10*y = 23

$$2 x + 10 y = 23$$

4*x - 5*y = 3

$$4 x - 5 y = 3$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$2 x + 10 y = 23$$
$$4 x - 5 y = 3$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x + 10 y = 23$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = - 10 y + 23$$
$$2 x = - 10 y + 23$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(- 10 y + 23\right)$$
$$x = - 5 y + \frac{23}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$4 x - 5 y = 3$$
Получим:
$$- 5 y + 4 \left(- 5 y + \frac{23}{2}\right) = 3$$
$$- 25 y + 46 = 3$$
Перенесем свободное слагаемое 46 из левой части в правую со сменой знака
$$- 25 y = -43$$
$$- 25 y = -43$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-25} \left(-1 \cdot 25 y\right) = \frac{43}{25}$$
$$y = \frac{43}{25}$$
Т.к.
$$x = - 5 y + \frac{23}{2}$$
то
$$x = - \frac{43}{5} + \frac{23}{2}$$
$$x = \frac{29}{10}$$

Ответ:
$$x = \frac{29}{10}$$
$$y = \frac{43}{25}$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = \frac{29}{10}$$
=
$$\frac{29}{10}$$
=

2.9

$$y_{1} = \frac{43}{25}$$
=
$$\frac{43}{25}$$
=

1.72

Метод Крамера

$$2 x + 10 y = 23$$
$$4 x - 5 y = 3$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 10 y = 23$$
$$4 x - 5 y = 3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + 10 x_{2}\\4 x_{1} - 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}23\\3\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 10\\4 & -5\end{matrix}\right] \right )} = -50$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{50} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}23 & 10\\3 & -5\end{matrix}\right] \right )} = \frac{29}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{50} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 23\\4 & 3\end{matrix}\right] \right )} = \frac{43}{25}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$2 x + 10 y = 23$$
$$4 x - 5 y = 3$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 10 y = 23$$
$$4 x - 5 y = 3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 10 & 23\\4 & -5 & 3\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 10 & 23\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -25 & -43\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -25 & -43\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 10 & 23\\0 & -25 & -43\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}10\\-25\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -25 & -43\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{86}{5} + 23\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & \frac{29}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & \frac{29}{5}\\0 & -25 & -43\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - \frac{29}{5} = 0$$
$$- 25 x_{2} + 43 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{29}{10}$$
$$x_{2} = \frac{43}{25}$$

Численный ответ

x1 = 2.90000000000000
y1 = 1.72000000000000