3*x+5*y+4*z=25 x-y+z=6 2*x+3*y-5*z=-7

Вы ввели

3*x + 5*y + 4*z = 25

$$4 z + 3 x + 5 y = 25$$

x - y + z = 6

$$z + x - y = 6$$

2*x + 3*y - 5*z = -7

$$- 5 z + 2 x + 3 y = -7$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = \frac{209}{61}$$
=
$$\frac{209}{61}$$
=

3.42622950819672

$$z_{1} = \frac{187}{61}$$
=
$$\frac{187}{61}$$
=

3.06557377049180

$$y_{1} = \frac{30}{61}$$
=
$$\frac{30}{61}$$
=

0.491803278688525

Метод Крамера

$$4 z + 3 x + 5 y = 25$$
$$z + x - y = 6$$
$$- 5 z + 2 x + 3 y = -7$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 5 y + 4 z = 25$$
$$x - y + z = 6$$
$$2 x + 3 y - 5 z = -7$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 x_{3} + 3 x_{1} + 5 x_{2}\\x_{3} + x_{1} - x_{2}\\- 5 x_{3} + 2 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}25\\6\\-7\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 5 & 4\\1 & -1 & 1\\2 & 3 & -5\end{matrix}\right] \right )} = 61$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{61} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}25 & 5 & 4\\6 & -1 & 1\\-7 & 3 & -5\end{matrix}\right] \right )} = \frac{209}{61}$$
$$x_{2} = \frac{1}{61} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 25 & 4\\1 & 6 & 1\\2 & -7 & -5\end{matrix}\right] \right )} = \frac{30}{61}$$
$$x_{3} = \frac{1}{61} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 5 & 25\\1 & -1 & 6\\2 & 3 & -7\end{matrix}\right] \right )} = \frac{187}{61}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$4 z + 3 x + 5 y = 25$$
$$z + x - y = 6$$
$$- 5 z + 2 x + 3 y = -7$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x + 5 y + 4 z = 25$$
$$x - y + z = 6$$
$$2 x + 3 y - 5 z = -7$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & 5 & 4 & 25\\1 & -1 & 1 & 6\\2 & 3 & -5 & -7\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\1\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & 5 & 4 & 25\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{5}{3} - 1 & - \frac{4}{3} + 1 & - \frac{25}{3} + 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{7}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 5 & 4 & 25\\0 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{7}{3}\\2 & 3 & -5 & -7\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{10}{3} + 3 & -5 - \frac{8}{3} & - \frac{50}{3} - 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{3} & - \frac{23}{3} & - \frac{71}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 5 & 4 & 25\\0 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{7}{3}\\0 & - \frac{1}{3} & - \frac{23}{3} & - \frac{71}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\- \frac{8}{3}\\- \frac{1}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{7}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & - \frac{5}{8} + 4 & - \frac{35}{8} + 25\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{27}{8} & \frac{165}{8}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{27}{8} & \frac{165}{8}\\0 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{7}{3}\\0 & - \frac{1}{3} & - \frac{23}{3} & - \frac{71}{3}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{3} - - \frac{1}{3} & - \frac{23}{3} - - \frac{1}{24} & - \frac{71}{3} - - \frac{7}{24}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{61}{8} & - \frac{187}{8}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{27}{8} & \frac{165}{8}\\0 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{7}{3}\\0 & 0 & - \frac{61}{8} & - \frac{187}{8}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{27}{8}\\- \frac{1}{3}\\- \frac{61}{8}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{61}{8} & - \frac{187}{8}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & - \frac{27}{8} + \frac{27}{8} & - \frac{5049}{488} + \frac{165}{8}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & \frac{627}{61}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & \frac{627}{61}\\0 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{7}{3}\\0 & 0 & - \frac{61}{8} & - \frac{187}{8}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} - - \frac{1}{3} & - \frac{7}{3} - - \frac{187}{183}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{80}{61}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & \frac{627}{61}\\0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{80}{61}\\0 & 0 & - \frac{61}{8} & - \frac{187}{8}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - \frac{627}{61} = 0$$
$$- \frac{8 x_{2}}{3} + \frac{80}{61} = 0$$
$$- \frac{61 x_{3}}{8} + \frac{187}{8} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{209}{61}$$
$$x_{2} = \frac{30}{61}$$
$$x_{3} = \frac{187}{61}$$

Численный ответ

x1 = 3.426229508196721
y1 = 0.4918032786885246
z1 = 3.065573770491803