y+z=7 x+z=15 y+x=16

Вы ввели

y + z = 7

$$y + z = 7$$

x + z = 15

$$x + z = 15$$

y + x = 16

$$x + y = 16$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 12$$
=
$$12$$
=

12

$$z_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

$$y_{1} = 4$$
=
$$4$$
=

4

Метод Крамера

$$y + z = 7$$
$$x + z = 15$$
$$x + y = 16$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$y + z = 7$$
$$x + z = 15$$
$$x + y = 16$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{3} + 0 x_{1} + x_{2}\\x_{3} + x_{1} + 0 x_{2}\\0 x_{3} + x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\15\\16\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 1 & 1\\15 & 0 & 1\\16 & 1 & 0\end{matrix}\right] \right )} = 12$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & 7 & 1\\1 & 15 & 1\\1 & 16 & 0\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & 1 & 7\\1 & 0 & 15\\1 & 1 & 16\end{matrix}\right] \right )} = 3$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$y + z = 7$$
$$x + z = 15$$
$$x + y = 16$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$y + z = 7$$
$$x + z = 15$$
$$x + y = 16$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 7\\1 & 0 & 1 & 15\\1 & 1 & 0 & 16\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 15\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 7\\1 & 0 & 1 & 15\\0 & 1 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -2 & -6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -2 & -6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 7\\1 & 0 & 1 & 15\\0 & 0 & -2 & -6\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\\-2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -2 & -6\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 4\\1 & 0 & 1 & 15\\0 & 0 & -2 & -6\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 4\\1 & 0 & 0 & 12\\0 & 0 & -2 & -6\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{2} - 4 = 0$$
$$x_{1} - 12 = 0$$
$$- 2 x_{3} + 6 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = 12$$
$$x_{3} = 3$$

Численный ответ

x1 = 12.0000000000000
y1 = 4.00000000000000
z1 = 3.00000000000000