8*x-6*y-1=x-5*y-22 12*x+5*y+1=7*x+y+19
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
8*x - 6*y - 1 = x - 5*y - 22
$$8 x - 6 y - 1 = x - 5 y - 22$$
12*x + 5*y + 1 = 7*x + y + 19
$$12 x + 5 y + 1 = 7 x + y + 19$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$8 x - 6 y - 1 = x - 5 y - 22$$
$$12 x + 5 y + 1 = 7 x + y + 19$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$8 x - 6 y - 1 = x - 5 y - 22$$
Перенесем слагаемое с переменной x из правой части в левую со сменой знака
$$8 x - 6 y - 1 + - x - 5 y - - 5 y = - 5 y - 22$$
$$7 x - 6 y - 1 = - 5 y - 22$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$7 x - 1 = - -1 \cdot 6 y + - 5 y - 22$$
$$7 x - 1 = y - 22$$
Перенесем свободное слагаемое -1 из левой части в правую со сменой знака
$$7 x = y - 22 + 1$$
$$7 x = y - 21$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7} \left(y - 21\right)$$
$$x = \frac{y}{7} - 3$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$12 x + 5 y + 1 = 7 x + y + 19$$
Получим:
$$5 y + 12 \left(\frac{y}{7} - 3\right) + 1 = y + 7 \left(\frac{y}{7} - 3\right) + 19$$
$$\frac{47 y}{7} - 35 = 2 y - 2$$
Перенесем слагаемое с переменной y из правой части в левую со сменой знака
$$- 2 y + \frac{47 y}{7} - 35 = -2$$
$$\frac{33 y}{7} - 35 = -2$$
Перенесем свободное слагаемое -35 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{33 y}{7} = 33$$
$$\frac{33 y}{7} = 33$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{33}{7} y}{\frac{33}{7}} = 7$$
$$y = 7$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{7} - 3$$
то
$$x = -3 + \frac{7}{7}$$
$$x = -2$$
Ответ:
$$x = -2$$
$$y = 7$$
$$8 x - 6 y - 1 = x - 5 y - 22$$
$$12 x + 5 y + 1 = 7 x + y + 19$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$8 x - 6 y - 1 = x - 5 y - 22$$
Перенесем слагаемое с переменной x из правой части в левую со сменой знака
$$8 x - 6 y - 1 + - x - 5 y - - 5 y = - 5 y - 22$$
$$7 x - 6 y - 1 = - 5 y - 22$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$7 x - 1 = - -1 \cdot 6 y + - 5 y - 22$$
$$7 x - 1 = y - 22$$
Перенесем свободное слагаемое -1 из левой части в правую со сменой знака
$$7 x = y - 22 + 1$$
$$7 x = y - 21$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7} \left(y - 21\right)$$
$$x = \frac{y}{7} - 3$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$12 x + 5 y + 1 = 7 x + y + 19$$
Получим:
$$5 y + 12 \left(\frac{y}{7} - 3\right) + 1 = y + 7 \left(\frac{y}{7} - 3\right) + 19$$
$$\frac{47 y}{7} - 35 = 2 y - 2$$
Перенесем слагаемое с переменной y из правой части в левую со сменой знака
$$- 2 y + \frac{47 y}{7} - 35 = -2$$
$$\frac{33 y}{7} - 35 = -2$$
Перенесем свободное слагаемое -35 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{33 y}{7} = 33$$
$$\frac{33 y}{7} = 33$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{33}{7} y}{\frac{33}{7}} = 7$$
$$y = 7$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{7} - 3$$
то
$$x = -3 + \frac{7}{7}$$
$$x = -2$$
Ответ:
$$x = -2$$
$$y = 7$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=
$$y_{1} = 7$$
=
$$7$$
=
=
$$-2$$
=
-2
$$y_{1} = 7$$
=
$$7$$
=
7
Метод Крамера
[TeX]
$$8 x - 6 y - 1 = x - 5 y - 22$$
$$12 x + 5 y + 1 = 7 x + y + 19$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x - y = -21$$
$$5 x + 4 y = 18$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 x_{1} - x_{2}\\5 x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-21\\18\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & -1\\5 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 33$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{33} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-21 & -1\\18 & 4\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
$$x_{2} = \frac{1}{33} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & -21\\5 & 18\end{matrix}\right] \right )} = 7$$
$$12 x + 5 y + 1 = 7 x + y + 19$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x - y = -21$$
$$5 x + 4 y = 18$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 x_{1} - x_{2}\\5 x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-21\\18\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & -1\\5 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 33$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{33} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-21 & -1\\18 & 4\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
$$x_{2} = \frac{1}{33} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & -21\\5 & 18\end{matrix}\right] \right )} = 7$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$8 x - 6 y - 1 = x - 5 y - 22$$
$$12 x + 5 y + 1 = 7 x + y + 19$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x - y = -21$$
$$5 x + 4 y = 18$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 & -1 & -21\\5 & 4 & 18\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}7 & -1 & -21\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-5}{7} + 4 & 33\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{33}{7} & 33\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & -1 & -21\\0 & \frac{33}{7} & 33\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{33}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{33}{7} & 33\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & -14\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & -14\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & -14\\0 & \frac{33}{7} & 33\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$7 x_{1} + 14 = 0$$
$$\frac{33 x_{2}}{7} - 33 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 7$$
$$8 x - 6 y - 1 = x - 5 y - 22$$
$$12 x + 5 y + 1 = 7 x + y + 19$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x - y = -21$$
$$5 x + 4 y = 18$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 & -1 & -21\\5 & 4 & 18\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}7 & -1 & -21\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-5}{7} + 4 & 33\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{33}{7} & 33\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & -1 & -21\\0 & \frac{33}{7} & 33\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{33}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{33}{7} & 33\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & -14\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & -14\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & -14\\0 & \frac{33}{7} & 33\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$7 x_{1} + 14 = 0$$
$$\frac{33 x_{2}}{7} - 33 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 7$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = -2.00000000000000 y1 = 7.00000000000000