4*x-7*y=1 2*x+7*y=11

Вы ввели

4*x - 7*y = 1

$$4 x - 7 y = 1$$

2*x + 7*y = 11

$$2 x + 7 y = 11$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$4 x - 7 y = 1$$
$$2 x + 7 y = 11$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$4 x - 7 y = 1$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$4 x - 7 y + 7 y = - -1 \cdot 7 y + 1$$
$$4 x = 7 y + 1$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4} \left(7 y + 1\right)$$
$$x = \frac{7 y}{4} + \frac{1}{4}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x + 7 y = 11$$
Получим:
$$7 y + 2 \left(\frac{7 y}{4} + \frac{1}{4}\right) = 11$$
$$\frac{21 y}{2} + \frac{1}{2} = 11$$
Перенесем свободное слагаемое 1/2 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{21 y}{2} = \frac{21}{2}$$
$$\frac{21 y}{2} = \frac{21}{2}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{21}{2} y}{\frac{21}{2}} = 1$$
$$y = 1$$
Т.к.
$$x = \frac{7 y}{4} + \frac{1}{4}$$
то
$$x = \frac{1}{4} + \frac{7}{4}$$
$$x = 2$$

Ответ:
$$x = 2$$
$$y = 1$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

$$y_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

Метод Крамера

$$4 x - 7 y = 1$$
$$2 x + 7 y = 11$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - 7 y = 1$$
$$2 x + 7 y = 11$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 x_{1} - 7 x_{2}\\2 x_{1} + 7 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -7\\2 & 7\end{matrix}\right] \right )} = 42$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{42} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -7\\11 & 7\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = \frac{1}{42} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 1\\2 & 11\end{matrix}\right] \right )} = 1$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$4 x - 7 y = 1$$
$$2 x + 7 y = 11$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - 7 y = 1$$
$$2 x + 7 y = 11$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 & -7 & 1\\2 & 7 & 11\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}4 & -7 & 1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-7}{2} + 7 & - \frac{1}{2} + 11\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{21}{2} & \frac{21}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & -7 & 1\\0 & \frac{21}{2} & \frac{21}{2}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-7\\\frac{21}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{21}{2} & \frac{21}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & 8\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 8\\0 & \frac{21}{2} & \frac{21}{2}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$4 x_{1} - 8 = 0$$
$$\frac{21 x_{2}}{2} - \frac{21}{2} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 1$$

Численный ответ

x1 = 2.00000000000000
y1 = 1.00000000000000