y=2-4*x 8*x=5-3*y

Вы ввели

[LaTeX]

y = 2 - 4*x

$$y = - 4 x + 2$$

8*x = 5 - 3*y

$$8 x = - 3 y + 5$$

Подробное решение

[LaTeX]

Дана система ур-ний
$$y = - 4 x + 2$$
$$8 x = - 3 y + 5$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$y = - 4 x + 2$$
Перенесем слагаемое с переменной x из правой части в левую со сменой знака
$$- -1 \cdot 4 x + y = - 4 x + 4 x + 2$$
$$4 x + y = 2$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$4 x = - y + 2$$
$$4 x = - y + 2$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4} \left(- y + 2\right)$$
$$x = - \frac{y}{4} + \frac{1}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$8 x = - 3 y + 5$$
Получим:
$$8 \left(- \frac{y}{4} + \frac{1}{2}\right) = - 3 y + 5$$
$$- 2 y + 4 = - 3 y + 5$$
Перенесем слагаемое с переменной y из правой части в левую со сменой знака
$$- -1 \cdot 3 y + - 2 y + 4 = 5$$
$$y + 4 = 5$$
Перенесем свободное слагаемое 4 из левой части в правую со сменой знака
$$y = 1$$
$$y = 1$$
Т.к.
$$x = - \frac{y}{4} + \frac{1}{2}$$
то
$$x = - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$$
$$x = \frac{1}{4}$$

Ответ:
$$x = \frac{1}{4}$$
$$y = 1$$

Быстрый ответ

[LaTeX]

$$x_{1} = \frac{1}{4}$$
=
$$\frac{1}{4}$$
=

0.25

$$y_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

Метод Крамера

[LaTeX]

$$y = - 4 x + 2$$
$$8 x = - 3 y + 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x + y = 2$$
$$8 x + 3 y = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 x_{1} + x_{2}\\8 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 1\\8 & 3\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1\\5 & 3\end{matrix}\right] \right )} = \frac{1}{4}$$
$$x_{2} = \frac{1}{4} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 2\\8 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 1$$

Метод Гаусса

[LaTeX]

Дана система ур-ний
$$y = - 4 x + 2$$
$$8 x = - 3 y + 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x + y = 2$$
$$8 x + 3 y = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 & 1 & 2\\8 & 3 & 5\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}4 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 1 & 2\\0 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$4 x_{1} - 1 = 0$$
$$x_{2} - 1 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{1}{4}$$
$$x_{2} = 1$$

Численный ответ

[LaTeX]

x1 = 0.250000000000000
y1 = 1.00000000000000