Дана система ур-ний $$y = 3 x - 1$$ $$2 x + 3 y = -14$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$y = 3 x - 1$$ Перенесем слагаемое с переменной x из правой части в левую со сменой знака $$- 3 x + y = -1$$ $$- 3 x + y = -1$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$- 3 x = - y - 1$$ $$- 3 x = - y - 1$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{1}{-3} \left(-1 \cdot 3 x\right) = \frac{1}{-3} \left(- y - 1\right)$$ $$x = \frac{y}{3} + \frac{1}{3}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$2 x + 3 y = -14$$ Получим: $$3 y + 2 \left(\frac{y}{3} + \frac{1}{3}\right) = -14$$ $$\frac{11 y}{3} + \frac{2}{3} = -14$$ Перенесем свободное слагаемое 2/3 из левой части в правую со сменой знака $$\frac{11 y}{3} = - \frac{44}{3}$$ $$\frac{11 y}{3} = - \frac{44}{3}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{\frac{11}{3} y}{\frac{11}{3}} = -4$$ $$y = -4$$ Т.к. $$x = \frac{y}{3} + \frac{1}{3}$$ то $$x = \frac{-4}{3} + \frac{1}{3}$$ $$x = -1$$
Ответ: $$x = -1$$ $$y = -4$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = -1$$ = $$-1$$ =
-1
$$y_{1} = -4$$ = $$-4$$ =
-4
Метод Крамера
$$y = 3 x - 1$$ $$2 x + 3 y = -14$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$- 3 x + y = -1$$ $$2 x + 3 y = -14$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}- 3 x_{1} + x_{2}\\2 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1\\-14\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-3 & 1\\2 & 3\end{matrix}\right] \right )} = -11$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-1 & 1\\-14 & 3\end{matrix}\right] \right )} = -1$$ $$x_{2} = - \frac{1}{11} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-3 & -1\\2 & -14\end{matrix}\right] \right )} = -4$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$y = 3 x - 1$$ $$2 x + 3 y = -14$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$- 3 x + y = -1$$ $$2 x + 3 y = -14$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}-3 & 1 & -1\\2 & 3 & -14\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}-3 & 1 & -1\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-2}{3} + 3 & -14 - \frac{2}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{11}{3} & - \frac{44}{3}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}-3 & 1 & -1\\0 & \frac{11}{3} & - \frac{44}{3}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}1\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & \frac{11}{3} & - \frac{44}{3}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}-3 & 0 & 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-3 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}-3 & 0 & 3\\0 & \frac{11}{3} & - \frac{44}{3}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$- 3 x_{1} - 3 = 0$$ $$\frac{11 x_{2}}{3} + \frac{44}{3} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = -1$$ $$x_{2} = -4$$