7*x-3*y=41 5*y+3*x=5

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

7*x - 3*y = 41

$$7 x - 3 y = 41$$

5*y + 3*x = 5

$$3 x + 5 y = 5$$

Подробное решение

[TeX]

Дана система ур-ний
$$7 x - 3 y = 41$$
$$3 x + 5 y = 5$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$7 x - 3 y = 41$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$7 x - 3 y + 3 y = - -1 \cdot 3 y + 41$$
$$7 x = 3 y + 41$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7} \left(3 y + 41\right)$$
$$x = \frac{3 y}{7} + \frac{41}{7}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$3 x + 5 y = 5$$
Получим:
$$5 y + 3 \left(\frac{3 y}{7} + \frac{41}{7}\right) = 5$$
$$\frac{44 y}{7} + \frac{123}{7} = 5$$
Перенесем свободное слагаемое 123/7 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{44 y}{7} = - \frac{88}{7}$$
$$\frac{44 y}{7} = - \frac{88}{7}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{44}{7} y}{\frac{44}{7}} = -2$$
$$y = -2$$
Т.к.
$$x = \frac{3 y}{7} + \frac{41}{7}$$
то
$$x = \frac{-6}{7} + \frac{41}{7}$$
$$x = 5$$

Ответ:
$$x = 5$$
$$y = -2$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$x_{1} = 5$$
=
$$5$$
=

5

$$y_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=

-2

Метод Крамера

[TeX]

$$7 x - 3 y = 41$$
$$3 x + 5 y = 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x - 3 y = 41$$
$$3 x + 5 y = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 x_{1} - 3 x_{2}\\3 x_{1} + 5 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}41\\5\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & -3\\3 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 44$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{44} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}41 & -3\\5 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
$$x_{2} = \frac{1}{44} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 41\\3 & 5\end{matrix}\right] \right )} = -2$$

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$7 x - 3 y = 41$$
$$3 x + 5 y = 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x - 3 y = 41$$
$$3 x + 5 y = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 & -3 & 41\\3 & 5 & 5\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}7 & -3 & 41\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-9}{7} + 5 & - \frac{123}{7} + 5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{44}{7} & - \frac{88}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & -3 & 41\\0 & \frac{44}{7} & - \frac{88}{7}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\\frac{44}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{44}{7} & - \frac{88}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 35\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & 35\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & 35\\0 & \frac{44}{7} & - \frac{88}{7}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$7 x_{1} - 35 = 0$$
$$\frac{44 x_{2}}{7} + \frac{88}{7} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -2$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = 5.00000000000000
y1 = -2.00000000000000