c+y-b=0 -c+z-x=0 b-a-z=0 12*y+42*a+24*b=15 48*x+26*z-42*a=39

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

c + y - b = 0

$$- b + c + y = 0$$

-c + z - x = 0

$$- x + - c + z = 0$$

b - a - z = 0

$$- z + - a + b = 0$$

12*y + 42*a + 24*b = 15

$$24 b + 42 a + 12 y = 15$$

48*x + 26*z - 42*a = 39

$$- 42 a + 48 x + 26 z = 39$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$c_{1} = \frac{607 z}{354} - \frac{51}{59}$$
=
$$\frac{607 z}{354} - \frac{51}{59}$$
=

-0.864406779661017 + 1.71468926553672*z

$$x_{1} = - \frac{253 z}{354} + \frac{51}{59}$$
=
$$- \frac{253 z}{354} + \frac{51}{59}$$
=

0.864406779661017 - 0.714689265536723*z

$$a_{1} = - \frac{35 z}{177} + \frac{7}{118}$$
=
$$- \frac{35 z}{177} + \frac{7}{118}$$
=

0.0593220338983051 - 0.19774011299435*z

$$y_{1} = - \frac{323 z}{354} + \frac{109}{118}$$
=
$$- \frac{323 z}{354} + \frac{109}{118}$$
=

0.923728813559322 - 0.912429378531073*z

$$b_{1} = \frac{142 z}{177} + \frac{7}{118}$$
=
$$\frac{142 z}{177} + \frac{7}{118}$$
=

0.0593220338983051 + 0.80225988700565*z

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$- b + c + y = 0$$
$$- x + - c + z = 0$$
$$- z + - a + b = 0$$
$$24 b + 42 a + 12 y = 15$$
$$- 42 a + 48 x + 26 z = 39$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- b + c + y = 0$$
$$- c - x + z = 0$$
$$- a + b - z = 0$$
$$42 a + 24 b + 12 y = 15$$
$$- 42 a + 48 x + 26 z = 39$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\42 & 24 & 0 & 0 & 12 & 0 & 15\\-42 & 0 & 0 & 48 & 0 & 26 & 39\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\0\\-1\\42\\-42\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 66 & 0 & 0 & 12 & -42 & 15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 66 & 0 & 0 & 12 & -42 & 15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 66 & 0 & 0 & 12 & -42 & 15\\-42 & 0 & 0 & 48 & 0 & 26 & 39\end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -42 & 0 & 48 & 0 & 68 & 39\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -42 & 0 & 48 & 0 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 66 & 0 & 0 & 12 & -42 & 15\\0 & -42 & 0 & 48 & 0 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\0\\1\\66\\-42\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0\\-1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\\0 & 66 & 0 & 0 & 12 & -42 & 15\\0 & -42 & 0 & 48 & 0 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 66 & 0 & 78 & -42 & 15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 66 & 0 & 78 & -42 & 15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0\\-1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\\0 & 0 & 66 & 0 & 78 & -42 & 15\\0 & -42 & 0 & 48 & 0 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -42 & 48 & -42 & 68 & 39\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -42 & 48 & -42 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0\\-1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\\0 & 0 & 66 & 0 & 78 & -42 & 15\\0 & 0 & -42 & 48 & -42 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-1\\1\\66\\-42\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0\\-1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\\0 & 0 & 66 & 0 & 78 & -42 & 15\\0 & 0 & -42 & 48 & -42 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 0 & 66 & 0 & 78 & -42 & 15\\0 & 0 & -42 & 48 & -42 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 66 & 0 & 0 & 12 & -42 & 15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 66 & 0 & 0 & 12 & -42 & 15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 66 & 0 & 0 & 12 & -42 & 15\\0 & 0 & -42 & 48 & -42 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -42 & 0 & 48 & 0 & 68 & 39\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -42 & 0 & 48 & 0 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 66 & 0 & 0 & 12 & -42 & 15\\0 & -42 & 0 & 48 & 0 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
В 4 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\-1\\0\\0\\48\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
5 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 5 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -42 & 0 & 48 & 0 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 - \frac{7}{8} & 0 & 0 & 1 & 1 - - \frac{17}{12} & - \frac{-13}{16}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{15}{8} & 0 & 0 & 1 & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & - \frac{15}{8} & 0 & 0 & 1 & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 66 & 0 & 0 & 12 & -42 & 15\\0 & -42 & 0 & 48 & 0 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
В 5 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\\0\\12\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{8} & -1 & 0 & 0 & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{8} & -1 & 0 & 0 & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & - \frac{7}{8} & -1 & 0 & 0 & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 66 & 0 & 0 & 12 & -42 & 15\\0 & -42 & 0 & 48 & 0 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 78 & -12 & 0 & 0 & -42 & 15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 78 & -12 & 0 & 0 & -42 & 15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & - \frac{7}{8} & -1 & 0 & 0 & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 78 & -12 & 0 & 0 & -42 & 15\\0 & -42 & 0 & 48 & 0 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\- \frac{7}{8}\\1\\78\\-42\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{8} - - \frac{7}{8} & -1 - \frac{7}{8} & 0 & - \frac{7}{8} & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{15}{8} & 0 & - \frac{7}{8} & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & - \frac{15}{8} & 0 & - \frac{7}{8} & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 78 & -12 & 0 & 0 & -42 & 15\\0 & -42 & 0 & 48 & 0 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & - \frac{15}{8} & 0 & - \frac{7}{8} & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\\-1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\\0 & 78 & -12 & 0 & 0 & -42 & 15\\0 & -42 & 0 & 48 & 0 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 66 & 0 & 78 & -42 & 15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 66 & 0 & 78 & -42 & 15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & - \frac{15}{8} & 0 & - \frac{7}{8} & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\\-1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\\0 & 0 & 66 & 0 & 78 & -42 & 15\\0 & -42 & 0 & 48 & 0 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -42 & 48 & -42 & 68 & 39\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -42 & 48 & -42 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & - \frac{15}{8} & 0 & - \frac{7}{8} & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\\-1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\\0 & 0 & 66 & 0 & 78 & -42 & 15\\0 & 0 & -42 & 48 & -42 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\- \frac{15}{8}\\1\\66\\-42\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{15}{8} & - \frac{15}{8} - - \frac{15}{8} & 0 & - \frac{7}{8} - - \frac{15}{8} & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{15}{8} & 0 & 0 & 1 & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & - \frac{15}{8} & 0 & 0 & 1 & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\\-1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0\\0 & 0 & 66 & 0 & 78 & -42 & 15\\0 & 0 & -42 & 48 & -42 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & - \frac{15}{8} & 0 & 0 & 1 & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 0 & 66 & 0 & 78 & -42 & 15\\0 & 0 & -42 & 48 & -42 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 66 & 0 & 0 & 12 & -42 & 15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 66 & 0 & 0 & 12 & -42 & 15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & - \frac{15}{8} & 0 & 0 & 1 & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 66 & 0 & 0 & 12 & -42 & 15\\0 & 0 & -42 & 48 & -42 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
Из 5 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -42 & 0 & 48 & 0 & 68 & 39\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -42 & 0 & 48 & 0 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & - \frac{15}{8} & 0 & 0 & 1 & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 66 & 0 & 0 & 12 & -42 & 15\\0 & -42 & 0 & 48 & 0 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
В 5 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\\0\\12\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{8} & -1 & 0 & 0 & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{8} & -1 & 0 & 0 & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & - \frac{7}{8} & -1 & 0 & 0 & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 66 & 0 & 0 & 12 & -42 & 15\\0 & -42 & 0 & 48 & 0 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 78 & -12 & 0 & 0 & -42 & 15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 78 & -12 & 0 & 0 & -42 & 15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & - \frac{7}{8} & -1 & 0 & 0 & \frac{29}{12} & \frac{13}{16}\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 78 & -12 & 0 & 0 & -42 & 15\\0 & -42 & 0 & 48 & 0 & 68 & 39\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- x_{2} + x_{3} + x_{5} = 0$$
$$- \frac{7 x_{2}}{8} - x_{3} + \frac{29 x_{6}}{12} - \frac{13}{16} = 0$$
$$- x_{1} + x_{2} - x_{6} = 0$$
$$78 x_{2} - 12 x_{3} - 42 x_{6} - 15 = 0$$
$$- 42 x_{2} + 48 x_{4} + 68 x_{6} - 39 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = x_{3} + x_{5}$$
$$x_{2} = - \frac{8 x_{3}}{7} + \frac{58 x_{6}}{21} - \frac{13}{14}$$
$$x_{1} = x_{2} - x_{6}$$
$$x_{2} = \frac{2 x_{3}}{13} + \frac{7 x_{6}}{13} + \frac{5}{26}$$
$$x_{2} = \frac{8 x_{4}}{7} + \frac{34 x_{6}}{21} - \frac{13}{14}$$
где x2, x3, x4, x5, x6 - свободные переменные