Дана система ур-ний $$9 x - 6 y = 24$$ $$9 x + 8 y = 10$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$9 x - 6 y = 24$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$9 x - 6 y + 6 y = - -1 \cdot 6 y + 24$$ $$9 x = 6 y + 24$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9} \left(6 y + 24\right)$$ $$x = \frac{2 y}{3} + \frac{8}{3}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$9 x + 8 y = 10$$ Получим: $$8 y + 9 \left(\frac{2 y}{3} + \frac{8}{3}\right) = 10$$ $$14 y + 24 = 10$$ Перенесем свободное слагаемое 24 из левой части в правую со сменой знака $$14 y = -14$$ $$14 y = -14$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{14 y}{14} = -1$$ $$y = -1$$ Т.к. $$x = \frac{2 y}{3} + \frac{8}{3}$$ то $$x = \frac{-2}{3} + \frac{8}{3}$$ $$x = 2$$
Ответ: $$x = 2$$ $$y = -1$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 2$$ = $$2$$ =
2
$$y_{1} = -1$$ = $$-1$$ =
-1
Метод Крамера
$$9 x - 6 y = 24$$ $$9 x + 8 y = 10$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$9 x - 6 y = 24$$ $$9 x + 8 y = 10$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}9 x_{1} - 6 x_{2}\\9 x_{1} + 8 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}24\\10\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}9 & -6\\9 & 8\end{matrix}\right] \right )} = 126$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = \frac{1}{126} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}24 & -6\\10 & 8\end{matrix}\right] \right )} = 2$$ $$x_{2} = \frac{1}{126} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}9 & 24\\9 & 10\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$9 x - 6 y = 24$$ $$9 x + 8 y = 10$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$9 x - 6 y = 24$$ $$9 x + 8 y = 10$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}9 & -6 & 24\\9 & 8 & 10\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}9 & -6 & 24\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & 14 & -14\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 14 & -14\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}9 & -6 & 24\\0 & 14 & -14\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}-6\\14\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & 14 & -14\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}9 & 0 & 18\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}9 & 0 & 18\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}9 & 0 & 18\\0 & 14 & -14\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$9 x_{1} - 18 = 0$$ $$14 x_{2} + 14 = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 2$$ $$x_{2} = -1$$