x+2*y-4*z=-1 -2*x+3*y+5*z=6 4*x-y-4*z=-1
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
x + 2*y - 4*z = -1
$$- 4 z + x + 2 y = -1$$
-2*x + 3*y + 5*z = 6
$$5 z + - 2 x + 3 y = 6$$
4*x - y - 4*z = -1
$$- 4 z + 4 x - y = -1$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
$$z_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
$$y_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
=
$$1$$
=
1
$$z_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
1
$$y_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
1
Метод Крамера
[TeX]
$$- 4 z + x + 2 y = -1$$
$$5 z + - 2 x + 3 y = 6$$
$$- 4 z + 4 x - y = -1$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 2 y - 4 z = -1$$
$$- 2 x + 3 y + 5 z = 6$$
$$4 x - y - 4 z = -1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 4 x_{3} + x_{1} + 2 x_{2}\\5 x_{3} + - 2 x_{1} + 3 x_{2}\\- 4 x_{3} + 4 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1\\6\\-1\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2 & -4\\-2 & 3 & 5\\4 & -1 & -4\end{matrix}\right] \right )} = 57$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{57} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-1 & 2 & -4\\6 & 3 & 5\\-1 & -1 & -4\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1}{57} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -1 & -4\\-2 & 6 & 5\\4 & -1 & -4\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{3} = \frac{1}{57} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2 & -1\\-2 & 3 & 6\\4 & -1 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$5 z + - 2 x + 3 y = 6$$
$$- 4 z + 4 x - y = -1$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 2 y - 4 z = -1$$
$$- 2 x + 3 y + 5 z = 6$$
$$4 x - y - 4 z = -1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 4 x_{3} + x_{1} + 2 x_{2}\\5 x_{3} + - 2 x_{1} + 3 x_{2}\\- 4 x_{3} + 4 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1\\6\\-1\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2 & -4\\-2 & 3 & 5\\4 & -1 & -4\end{matrix}\right] \right )} = 57$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{57} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-1 & 2 & -4\\6 & 3 & 5\\-1 & -1 & -4\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1}{57} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -1 & -4\\-2 & 6 & 5\\4 & -1 & -4\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{3} = \frac{1}{57} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2 & -1\\-2 & 3 & 6\\4 & -1 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$- 4 z + x + 2 y = -1$$
$$5 z + - 2 x + 3 y = 6$$
$$- 4 z + 4 x - y = -1$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 2 y - 4 z = -1$$
$$- 2 x + 3 y + 5 z = 6$$
$$4 x - y - 4 z = -1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & -4 & -1\\-2 & 3 & 5 & 6\\4 & -1 & -4 & -1\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-2\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & -4 & -1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -3 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 7 & -3 & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & -4 & -1\\0 & 7 & -3 & 4\\4 & -1 & -4 & -1\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -9 & 12 & 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -9 & 12 & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & -4 & -1\\0 & 7 & -3 & 4\\0 & -9 & 12 & 3\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\7\\-9\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -3 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -4 - - \frac{6}{7} & - \frac{8}{7} - 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{22}{7} & - \frac{15}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{22}{7} & - \frac{15}{7}\\0 & 7 & -3 & 4\\0 & -9 & 12 & 3\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{27}{7} + 12 & 3 - - \frac{36}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{57}{7} & \frac{57}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{22}{7} & - \frac{15}{7}\\0 & 7 & -3 & 4\\0 & 0 & \frac{57}{7} & \frac{57}{7}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{22}{7}\\-3\\\frac{57}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{57}{7} & \frac{57}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{22}{7} - - \frac{22}{7} & - \frac{15}{7} - - \frac{22}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 7 & -3 & 4\\0 & 0 & \frac{57}{7} & \frac{57}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & 0 & 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 7 & 0 & 7\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 7 & 0 & 7\\0 & 0 & \frac{57}{7} & \frac{57}{7}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 1 = 0$$
$$7 x_{2} - 7 = 0$$
$$\frac{57 x_{3}}{7} - \frac{57}{7} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 1$$
$$- 4 z + x + 2 y = -1$$
$$5 z + - 2 x + 3 y = 6$$
$$- 4 z + 4 x - y = -1$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 2 y - 4 z = -1$$
$$- 2 x + 3 y + 5 z = 6$$
$$4 x - y - 4 z = -1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & -4 & -1\\-2 & 3 & 5 & 6\\4 & -1 & -4 & -1\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-2\\4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & -4 & -1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -3 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 7 & -3 & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & -4 & -1\\0 & 7 & -3 & 4\\4 & -1 & -4 & -1\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -9 & 12 & 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -9 & 12 & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & -4 & -1\\0 & 7 & -3 & 4\\0 & -9 & 12 & 3\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\7\\-9\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & -3 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -4 - - \frac{6}{7} & - \frac{8}{7} - 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{22}{7} & - \frac{15}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{22}{7} & - \frac{15}{7}\\0 & 7 & -3 & 4\\0 & -9 & 12 & 3\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{27}{7} + 12 & 3 - - \frac{36}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{57}{7} & \frac{57}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{22}{7} & - \frac{15}{7}\\0 & 7 & -3 & 4\\0 & 0 & \frac{57}{7} & \frac{57}{7}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{22}{7}\\-3\\\frac{57}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{57}{7} & \frac{57}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{22}{7} - - \frac{22}{7} & - \frac{15}{7} - - \frac{22}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 7 & -3 & 4\\0 & 0 & \frac{57}{7} & \frac{57}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 & 0 & 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 7 & 0 & 7\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & 7 & 0 & 7\\0 & 0 & \frac{57}{7} & \frac{57}{7}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 1 = 0$$
$$7 x_{2} - 7 = 0$$
$$\frac{57 x_{3}}{7} - \frac{57}{7} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 1$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 1.00000000000000 y1 = 1.00000000000000 z1 = 1.00000000000000