2*x-3*y+z=-3 x-5*y-2*z=6 -2*x-y+3*z=-9
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
2*x - 3*y + z = -3
$$z + 2 x - 3 y = -3$$
x - 5*y - 2*z = 6
$$- 2 z + x - 5 y = 6$$
-2*x - y + 3*z = -9
$$3 z + - 2 x - y = -9$$
Быстрый ответ
[LaTeX]
$$x_{1} = 0$$
=
$$0$$
=
$$z_{1} = -3$$
=
$$-3$$
=
$$y_{1} = 0$$
=
$$0$$
=
=
$$0$$
=
0
$$z_{1} = -3$$
=
$$-3$$
=
-3
$$y_{1} = 0$$
=
$$0$$
=
0
Метод Крамера
[LaTeX]
$$z + 2 x - 3 y = -3$$
$$- 2 z + x - 5 y = 6$$
$$3 z + - 2 x - y = -9$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - 3 y + z = -3$$
$$x - 5 y - 2 z = 6$$
$$- 2 x - y + 3 z = -9$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{3} + 2 x_{1} - 3 x_{2}\\- 2 x_{3} + x_{1} - 5 x_{2}\\3 x_{3} + - 2 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-3\\6\\-9\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -3 & 1\\1 & -5 & -2\\-2 & -1 & 3\end{matrix}\right] \right )} = -48$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{48} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-3 & -3 & 1\\6 & -5 & -2\\-9 & -1 & 3\end{matrix}\right] \right )} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{1}{48} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -3 & 1\\1 & 6 & -2\\-2 & -9 & 3\end{matrix}\right] \right )} = 0$$
$$x_{3} = - \frac{1}{48} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -3 & -3\\1 & -5 & 6\\-2 & -1 & -9\end{matrix}\right] \right )} = -3$$
$$- 2 z + x - 5 y = 6$$
$$3 z + - 2 x - y = -9$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - 3 y + z = -3$$
$$x - 5 y - 2 z = 6$$
$$- 2 x - y + 3 z = -9$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{3} + 2 x_{1} - 3 x_{2}\\- 2 x_{3} + x_{1} - 5 x_{2}\\3 x_{3} + - 2 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-3\\6\\-9\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -3 & 1\\1 & -5 & -2\\-2 & -1 & 3\end{matrix}\right] \right )} = -48$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{48} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-3 & -3 & 1\\6 & -5 & -2\\-9 & -1 & 3\end{matrix}\right] \right )} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{1}{48} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -3 & 1\\1 & 6 & -2\\-2 & -9 & 3\end{matrix}\right] \right )} = 0$$
$$x_{3} = - \frac{1}{48} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -3 & -3\\1 & -5 & 6\\-2 & -1 & -9\end{matrix}\right] \right )} = -3$$
Метод Гаусса
[LaTeX]
Дана система ур-ний
$$z + 2 x - 3 y = -3$$
$$- 2 z + x - 5 y = 6$$
$$3 z + - 2 x - y = -9$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - 3 y + z = -3$$
$$x - 5 y - 2 z = 6$$
$$- 2 x - y + 3 z = -9$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & -3 & 1 & -3\\1 & -5 & -2 & 6\\-2 & -1 & 3 & -9\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\1\\-2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & -3 & 1 & -3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 - - \frac{3}{2} & -2 - \frac{1}{2} & - \frac{-3}{2} + 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{15}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & -3 & 1 & -3\\0 & - \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{15}{2}\\-2 & -1 & 3 & -9\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 & 4 & -12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -4 & 4 & -12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & -3 & 1 & -3\\0 & - \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{15}{2}\\0 & -4 & 4 & -12\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\- \frac{7}{2}\\-4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{15}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 1 - - \frac{15}{7} & - \frac{45}{7} - 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & \frac{22}{7} & - \frac{66}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & \frac{22}{7} & - \frac{66}{7}\\0 & - \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{15}{2}\\0 & -4 & 4 & -12\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{-20}{7} + 4 & -12 - \frac{60}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{48}{7} & - \frac{144}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & \frac{22}{7} & - \frac{66}{7}\\0 & - \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{15}{2}\\0 & 0 & \frac{48}{7} & - \frac{144}{7}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{22}{7}\\- \frac{5}{2}\\\frac{48}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{48}{7} & - \frac{144}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{22}{7} + \frac{22}{7} & - \frac{66}{7} - - \frac{66}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0\\0 & - \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{15}{2}\\0 & 0 & \frac{48}{7} & - \frac{144}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} - - \frac{5}{2} & - \frac{15}{2} + \frac{15}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0\\0 & - \frac{7}{2} & 0 & 0\\0 & 0 & \frac{48}{7} & - \frac{144}{7}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} = 0$$
$$- \frac{7 x_{2}}{2} = 0$$
$$\frac{48 x_{3}}{7} + \frac{144}{7} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -3$$
$$z + 2 x - 3 y = -3$$
$$- 2 z + x - 5 y = 6$$
$$3 z + - 2 x - y = -9$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x - 3 y + z = -3$$
$$x - 5 y - 2 z = 6$$
$$- 2 x - y + 3 z = -9$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & -3 & 1 & -3\\1 & -5 & -2 & 6\\-2 & -1 & 3 & -9\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\1\\-2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & -3 & 1 & -3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -5 - - \frac{3}{2} & -2 - \frac{1}{2} & - \frac{-3}{2} + 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{15}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & -3 & 1 & -3\\0 & - \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{15}{2}\\-2 & -1 & 3 & -9\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 & 4 & -12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -4 & 4 & -12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & -3 & 1 & -3\\0 & - \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{15}{2}\\0 & -4 & 4 & -12\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-3\\- \frac{7}{2}\\-4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{15}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 1 - - \frac{15}{7} & - \frac{45}{7} - 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & \frac{22}{7} & - \frac{66}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & \frac{22}{7} & - \frac{66}{7}\\0 & - \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{15}{2}\\0 & -4 & 4 & -12\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{-20}{7} + 4 & -12 - \frac{60}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{48}{7} & - \frac{144}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & \frac{22}{7} & - \frac{66}{7}\\0 & - \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{15}{2}\\0 & 0 & \frac{48}{7} & - \frac{144}{7}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{22}{7}\\- \frac{5}{2}\\\frac{48}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{48}{7} & - \frac{144}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{22}{7} + \frac{22}{7} & - \frac{66}{7} - - \frac{66}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0\\0 & - \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{15}{2}\\0 & 0 & \frac{48}{7} & - \frac{144}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} - - \frac{5}{2} & - \frac{15}{2} + \frac{15}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0\\0 & - \frac{7}{2} & 0 & 0\\0 & 0 & \frac{48}{7} & - \frac{144}{7}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} = 0$$
$$- \frac{7 x_{2}}{2} = 0$$
$$\frac{48 x_{3}}{7} + \frac{144}{7} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -3$$
Численный ответ
[LaTeX]
x1 = 0.0 y1 = 0.0 z1 = -3.00000000000000