2*x1-x2-x3=0 x1-x2-3*x3=13 3*x1-2*x2+4*x3=-15

Вы ввели

2*x1 - x2 - x3 = 0

$$- x_{3} + 2 x_{1} - x_{2} = 0$$

x1 - x2 - 3*x3 = 13

$$- 3 x_{3} + x_{1} - x_{2} = 13$$

3*x1 - 2*x2 + 4*x3 = -15

$$4 x_{3} + 3 x_{1} - 2 x_{2} = -15$$

Быстрый ответ

$$x_{31} = - \frac{7}{2}$$
=
$$- \frac{7}{2}$$
=

-3.5

$$x_{11} = -6$$
=
$$-6$$
=

-6

$$x_{21} = - \frac{17}{2}$$
=
$$- \frac{17}{2}$$
=

-8.5

Метод Крамера

$$- x_{3} + 2 x_{1} - x_{2} = 0$$
$$- 3 x_{3} + x_{1} - x_{2} = 13$$
$$4 x_{3} + 3 x_{1} - 2 x_{2} = -15$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x_{1} - x_{2} - x_{3} = 0$$
$$x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} = 13$$
$$3 x_{1} - 2 x_{2} + 4 x_{3} = -15$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- x_{3} + 2 x_{1} - x_{2}\\- 3 x_{3} + x_{1} - x_{2}\\4 x_{3} + 3 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\13\\-15\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -1 & -1\\1 & -1 & -3\\3 & -2 & 4\end{matrix}\right] \right )} = -8$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{8} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & -1 & -1\\13 & -1 & -3\\-15 & -2 & 4\end{matrix}\right] \right )} = -6$$
$$x_{2} = - \frac{1}{8} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 0 & -1\\1 & 13 & -3\\3 & -15 & 4\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{17}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{8} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -1 & 0\\1 & -1 & 13\\3 & -2 & -15\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{7}{2}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$- x_{3} + 2 x_{1} - x_{2} = 0$$
$$- 3 x_{3} + x_{1} - x_{2} = 13$$
$$4 x_{3} + 3 x_{1} - 2 x_{2} = -15$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x_{1} - x_{2} - x_{3} = 0$$
$$x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} = 13$$
$$3 x_{1} - 2 x_{2} + 4 x_{3} = -15$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & -1 & 0\\1 & -1 & -3 & 13\\3 & -2 & 4 & -15\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\1\\3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 - - \frac{1}{2} & -3 - - \frac{1}{2} & 13\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{2} & - \frac{5}{2} & 13\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & -1 & 0\\0 & - \frac{1}{2} & - \frac{5}{2} & 13\\3 & -2 & 4 & -15\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 - - \frac{3}{2} & - \frac{-3}{2} + 4 & -15\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{2} & \frac{11}{2} & -15\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & -1 & 0\\0 & - \frac{1}{2} & - \frac{5}{2} & 13\\0 & - \frac{1}{2} & \frac{11}{2} & -15\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\- \frac{1}{2}\\- \frac{1}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{2} & - \frac{5}{2} & 13\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4 & -26\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 4 & -26\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4 & -26\\0 & - \frac{1}{2} & - \frac{5}{2} & 13\\0 & - \frac{1}{2} & \frac{11}{2} & -15\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{2} - - \frac{1}{2} & - \frac{-5}{2} + \frac{11}{2} & -28\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 8 & -28\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4 & -26\\0 & - \frac{1}{2} & - \frac{5}{2} & 13\\0 & 0 & 8 & -28\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\- \frac{5}{2}\\8\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 8 & -28\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & -12\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & -12\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & -12\\0 & - \frac{1}{2} & - \frac{5}{2} & 13\\0 & 0 & 8 & -28\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{2} & - \frac{5}{2} - - \frac{5}{2} & - \frac{35}{4} + 13\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{17}{4}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 & -12\\0 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{17}{4}\\0 & 0 & 8 & -28\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} + 12 = 0$$
$$- \frac{x_{2}}{2} - \frac{17}{4} = 0$$
$$8 x_{3} + 28 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = - \frac{17}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{7}{2}$$

Численный ответ

x11 = -6.00000000000000
x21 = -8.50000000000000
x31 = -3.50000000000000