60=x*(15+15)-y*15 240=y*(15+15+15)-x*15-z*15 -120=z*(15+15)-y*15
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
60 = x*30 - y*15
$$60 = 30 x - 15 y$$
240 = y*45 - x*15 - z*15
$$240 = - 15 z + - 15 x + 45 y$$
-120 = z*30 - y*15
$$-120 = - 15 y + 30 z$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = \frac{11}{2}$$
=
$$\frac{11}{2}$$
=
$$z_{1} = - \frac{1}{2}$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
=
$$y_{1} = 7$$
=
$$7$$
=
=
$$\frac{11}{2}$$
=
5.5
$$z_{1} = - \frac{1}{2}$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
=
-0.5
$$y_{1} = 7$$
=
$$7$$
=
7
Метод Крамера
[TeX]
$$60 = 30 x - 15 y$$
$$240 = - 15 z + - 15 x + 45 y$$
$$-120 = - 15 y + 30 z$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 30 x + 15 y = -60$$
$$15 x - 45 y + 15 z = -240$$
$$15 y - 30 z = 120$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}0 x_{3} + - 30 x_{1} + 15 x_{2}\\15 x_{3} + 15 x_{1} - 45 x_{2}\\- 30 x_{3} + 0 x_{1} + 15 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-60\\-240\\120\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-30 & 15 & 0\\15 & -45 & 15\\0 & 15 & -30\end{matrix}\right] \right )} = -27000$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{27000} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-60 & 15 & 0\\-240 & -45 & 15\\120 & 15 & -30\end{matrix}\right] \right )} = \frac{11}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{27000} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-30 & -60 & 0\\15 & -240 & 15\\0 & 120 & -30\end{matrix}\right] \right )} = 7$$
$$x_{3} = - \frac{1}{27000} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-30 & 15 & -60\\15 & -45 & -240\\0 & 15 & 120\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{1}{2}$$
$$240 = - 15 z + - 15 x + 45 y$$
$$-120 = - 15 y + 30 z$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 30 x + 15 y = -60$$
$$15 x - 45 y + 15 z = -240$$
$$15 y - 30 z = 120$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}0 x_{3} + - 30 x_{1} + 15 x_{2}\\15 x_{3} + 15 x_{1} - 45 x_{2}\\- 30 x_{3} + 0 x_{1} + 15 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-60\\-240\\120\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-30 & 15 & 0\\15 & -45 & 15\\0 & 15 & -30\end{matrix}\right] \right )} = -27000$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{27000} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-60 & 15 & 0\\-240 & -45 & 15\\120 & 15 & -30\end{matrix}\right] \right )} = \frac{11}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{27000} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-30 & -60 & 0\\15 & -240 & 15\\0 & 120 & -30\end{matrix}\right] \right )} = 7$$
$$x_{3} = - \frac{1}{27000} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-30 & 15 & -60\\15 & -45 & -240\\0 & 15 & 120\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{1}{2}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$60 = 30 x - 15 y$$
$$240 = - 15 z + - 15 x + 45 y$$
$$-120 = - 15 y + 30 z$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 30 x + 15 y = -60$$
$$15 x - 45 y + 15 z = -240$$
$$15 y - 30 z = 120$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-30 & 15 & 0 & -60\\15 & -45 & 15 & -240\\0 & 15 & -30 & 120\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-30\\15\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-30 & 15 & 0 & -60\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -45 - - \frac{15}{2} & 15 & -270\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{75}{2} & 15 & -270\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-30 & 15 & 0 & -60\\0 & - \frac{75}{2} & 15 & -270\\0 & 15 & -30 & 120\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}15\\- \frac{75}{2}\\15\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-30 & 15 & 0 & -60\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-75 & - \frac{75}{2} - - \frac{75}{2} & 15 & -420\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-75 & 0 & 15 & -420\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-30 & 15 & 0 & -60\\-75 & 0 & 15 & -420\\0 & 15 & -30 & 120\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}30 & 0 & -30 & 180\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}30 & 0 & -30 & 180\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-30 & 15 & 0 & -60\\-75 & 0 & 15 & -420\\30 & 0 & -30 & 180\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\15\\-30\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-75 & 0 & 15 & -420\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-120 & 0 & 0 & -660\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-120 & 0 & 0 & -660\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-30 & 15 & 0 & -60\\-75 & 0 & 15 & -420\\-120 & 0 & 0 & -660\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-30\\-75\\-120\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-120 & 0 & 0 & -660\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 15 & 0 & 105\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 15 & 0 & 105\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 15 & 0 & 105\\-75 & 0 & 15 & -420\\-120 & 0 & 0 & -660\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 15 & -420 - - \frac{825}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 15 & - \frac{15}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 15 & 0 & 105\\0 & 0 & 15 & - \frac{15}{2}\\-120 & 0 & 0 & -660\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$15 x_{2} - 105 = 0$$
$$15 x_{3} + \frac{15}{2} = 0$$
$$- 120 x_{1} + 660 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = 7$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{11}{2}$$
$$60 = 30 x - 15 y$$
$$240 = - 15 z + - 15 x + 45 y$$
$$-120 = - 15 y + 30 z$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 30 x + 15 y = -60$$
$$15 x - 45 y + 15 z = -240$$
$$15 y - 30 z = 120$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-30 & 15 & 0 & -60\\15 & -45 & 15 & -240\\0 & 15 & -30 & 120\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-30\\15\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-30 & 15 & 0 & -60\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -45 - - \frac{15}{2} & 15 & -270\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{75}{2} & 15 & -270\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-30 & 15 & 0 & -60\\0 & - \frac{75}{2} & 15 & -270\\0 & 15 & -30 & 120\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}15\\- \frac{75}{2}\\15\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-30 & 15 & 0 & -60\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-75 & - \frac{75}{2} - - \frac{75}{2} & 15 & -420\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-75 & 0 & 15 & -420\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-30 & 15 & 0 & -60\\-75 & 0 & 15 & -420\\0 & 15 & -30 & 120\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}30 & 0 & -30 & 180\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}30 & 0 & -30 & 180\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-30 & 15 & 0 & -60\\-75 & 0 & 15 & -420\\30 & 0 & -30 & 180\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\15\\-30\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-75 & 0 & 15 & -420\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-120 & 0 & 0 & -660\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-120 & 0 & 0 & -660\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-30 & 15 & 0 & -60\\-75 & 0 & 15 & -420\\-120 & 0 & 0 & -660\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-30\\-75\\-120\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-120 & 0 & 0 & -660\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 15 & 0 & 105\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 15 & 0 & 105\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 15 & 0 & 105\\-75 & 0 & 15 & -420\\-120 & 0 & 0 & -660\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 15 & -420 - - \frac{825}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 15 & - \frac{15}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & 15 & 0 & 105\\0 & 0 & 15 & - \frac{15}{2}\\-120 & 0 & 0 & -660\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$15 x_{2} - 105 = 0$$
$$15 x_{3} + \frac{15}{2} = 0$$
$$- 120 x_{1} + 660 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = 7$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{11}{2}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 5.50000000000000 y1 = 7.00000000000000 z1 = -0.500000000000000