Дана система ур-ний $$7 x + 5 y = 22$$ $$31 x - 9 y = 22$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$7 x + 5 y = 22$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$7 x = - 5 y + 22$$ $$7 x = - 5 y + 22$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7} \left(- 5 y + 22\right)$$ $$x = - \frac{5 y}{7} + \frac{22}{7}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$31 x - 9 y = 22$$ Получим: $$- 9 y + 31 \left(- \frac{5 y}{7} + \frac{22}{7}\right) = 22$$ $$- \frac{218 y}{7} + \frac{682}{7} = 22$$ Перенесем свободное слагаемое 682/7 из левой части в правую со сменой знака $$- \frac{218 y}{7} = - \frac{528}{7}$$ $$- \frac{218 y}{7} = - \frac{528}{7}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{-1 \frac{218}{7} y}{- \frac{218}{7}} = \frac{264}{109}$$ $$y = \frac{264}{109}$$ Т.к. $$x = - \frac{5 y}{7} + \frac{22}{7}$$ то $$x = - \frac{1320}{763} + \frac{22}{7}$$ $$x = \frac{154}{109}$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$7 x + 5 y = 22$$ $$31 x - 9 y = 22$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}7 x_{1} + 5 x_{2}\\31 x_{1} - 9 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}22\\22\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 5\\31 & -9\end{matrix}\right] \right )} = -218$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{218} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}22 & 5\\22 & -9\end{matrix}\right] \right )} = \frac{154}{109}$$ $$x_{2} = - \frac{1}{218} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 22\\31 & 22\end{matrix}\right] \right )} = \frac{264}{109}$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$7 x + 5 y = 22$$ $$31 x - 9 y = 22$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$7 x + 5 y = 22$$ $$31 x - 9 y = 22$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}7 & 5 & 22\\31 & -9 & 22\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}7\\31\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}7 & 5 & 22\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{155}{7} - 9 & - \frac{682}{7} + 22\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{218}{7} & - \frac{528}{7}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}7 & 5 & 22\\0 & - \frac{218}{7} & - \frac{528}{7}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}5\\- \frac{218}{7}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{218}{7} & - \frac{528}{7}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}7 & 0 & - \frac{1320}{109} + 22\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & \frac{1078}{109}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}7 & 0 & \frac{1078}{109}\\0 & - \frac{218}{7} & - \frac{528}{7}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$7 x_{1} - \frac{1078}{109} = 0$$ $$- \frac{218 x_{2}}{7} + \frac{528}{7} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = \frac{154}{109}$$ $$x_{2} = \frac{264}{109}$$