7*x+5*y=22 31*x-9*y=22

Вы ввели

7*x + 5*y = 22

$$7 x + 5 y = 22$$

31*x - 9*y = 22

$$31 x - 9 y = 22$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$7 x + 5 y = 22$$
$$31 x - 9 y = 22$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$7 x + 5 y = 22$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$7 x = - 5 y + 22$$
$$7 x = - 5 y + 22$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7} \left(- 5 y + 22\right)$$
$$x = - \frac{5 y}{7} + \frac{22}{7}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$31 x - 9 y = 22$$
Получим:
$$- 9 y + 31 \left(- \frac{5 y}{7} + \frac{22}{7}\right) = 22$$
$$- \frac{218 y}{7} + \frac{682}{7} = 22$$
Перенесем свободное слагаемое 682/7 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{218 y}{7} = - \frac{528}{7}$$
$$- \frac{218 y}{7} = - \frac{528}{7}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{218}{7} y}{- \frac{218}{7}} = \frac{264}{109}$$
$$y = \frac{264}{109}$$
Т.к.
$$x = - \frac{5 y}{7} + \frac{22}{7}$$
то
$$x = - \frac{1320}{763} + \frac{22}{7}$$
$$x = \frac{154}{109}$$

Ответ:
$$x = \frac{154}{109}$$
$$y = \frac{264}{109}$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = \frac{154}{109}$$
=
$$\frac{154}{109}$$
=

1.41284403669725

$$y_{1} = \frac{264}{109}$$
=
$$\frac{264}{109}$$
=

2.42201834862385

Метод Крамера

$$7 x + 5 y = 22$$
$$31 x - 9 y = 22$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x + 5 y = 22$$
$$31 x - 9 y = 22$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 x_{1} + 5 x_{2}\\31 x_{1} - 9 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}22\\22\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 5\\31 & -9\end{matrix}\right] \right )} = -218$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{218} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}22 & 5\\22 & -9\end{matrix}\right] \right )} = \frac{154}{109}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{218} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & 22\\31 & 22\end{matrix}\right] \right )} = \frac{264}{109}$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$7 x + 5 y = 22$$
$$31 x - 9 y = 22$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$7 x + 5 y = 22$$
$$31 x - 9 y = 22$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}7 & 5 & 22\\31 & -9 & 22\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}7\\31\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}7 & 5 & 22\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{155}{7} - 9 & - \frac{682}{7} + 22\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{218}{7} & - \frac{528}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 5 & 22\\0 & - \frac{218}{7} & - \frac{528}{7}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\- \frac{218}{7}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{218}{7} & - \frac{528}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & - \frac{1320}{109} + 22\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7 & 0 & \frac{1078}{109}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}7 & 0 & \frac{1078}{109}\\0 & - \frac{218}{7} & - \frac{528}{7}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$7 x_{1} - \frac{1078}{109} = 0$$
$$- \frac{218 x_{2}}{7} + \frac{528}{7} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{154}{109}$$
$$x_{2} = \frac{264}{109}$$

Численный ответ

x1 = 1.412844036697248
y1 = 2.422018348623853