3*x-5*y=4 2*x+6*y=3
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
3*x - 5*y = 4
$$3 x - 5 y = 4$$
2*x + 6*y = 3
$$2 x + 6 y = 3$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$3 x - 5 y = 4$$
$$2 x + 6 y = 3$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$3 x - 5 y = 4$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$3 x - 5 y + 5 y = - -1 \cdot 5 y + 4$$
$$3 x = 5 y + 4$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(5 y + 4\right)$$
$$x = \frac{5 y}{3} + \frac{4}{3}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x + 6 y = 3$$
Получим:
$$6 y + 2 \left(\frac{5 y}{3} + \frac{4}{3}\right) = 3$$
$$\frac{28 y}{3} + \frac{8}{3} = 3$$
Перенесем свободное слагаемое 8/3 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{28 y}{3} = \frac{1}{3}$$
$$\frac{28 y}{3} = \frac{1}{3}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{28}{3} y}{\frac{28}{3}} = \frac{1}{28}$$
$$y = \frac{1}{28}$$
Т.к.
$$x = \frac{5 y}{3} + \frac{4}{3}$$
то
$$x = \frac{5}{84} + \frac{4}{3}$$
$$x = \frac{39}{28}$$
Ответ:
$$x = \frac{39}{28}$$
$$y = \frac{1}{28}$$
$$3 x - 5 y = 4$$
$$2 x + 6 y = 3$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$3 x - 5 y = 4$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$3 x - 5 y + 5 y = - -1 \cdot 5 y + 4$$
$$3 x = 5 y + 4$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(5 y + 4\right)$$
$$x = \frac{5 y}{3} + \frac{4}{3}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x + 6 y = 3$$
Получим:
$$6 y + 2 \left(\frac{5 y}{3} + \frac{4}{3}\right) = 3$$
$$\frac{28 y}{3} + \frac{8}{3} = 3$$
Перенесем свободное слагаемое 8/3 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{28 y}{3} = \frac{1}{3}$$
$$\frac{28 y}{3} = \frac{1}{3}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{28}{3} y}{\frac{28}{3}} = \frac{1}{28}$$
$$y = \frac{1}{28}$$
Т.к.
$$x = \frac{5 y}{3} + \frac{4}{3}$$
то
$$x = \frac{5}{84} + \frac{4}{3}$$
$$x = \frac{39}{28}$$
Ответ:
$$x = \frac{39}{28}$$
$$y = \frac{1}{28}$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = \frac{39}{28}$$
=
$$\frac{39}{28}$$
=
$$y_{1} = \frac{1}{28}$$
=
$$\frac{1}{28}$$
=
=
$$\frac{39}{28}$$
=
1.39285714285714
$$y_{1} = \frac{1}{28}$$
=
$$\frac{1}{28}$$
=
0.0357142857142857
Метод Крамера
[TeX]
$$3 x - 5 y = 4$$
$$2 x + 6 y = 3$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x - 5 y = 4$$
$$2 x + 6 y = 3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{1} - 5 x_{2}\\2 x_{1} + 6 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -5\\2 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 28$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{28} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -5\\3 & 6\end{matrix}\right] \right )} = \frac{39}{28}$$
$$x_{2} = \frac{1}{28} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 4\\2 & 3\end{matrix}\right] \right )} = \frac{1}{28}$$
$$2 x + 6 y = 3$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x - 5 y = 4$$
$$2 x + 6 y = 3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{1} - 5 x_{2}\\2 x_{1} + 6 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -5\\2 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 28$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{28} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -5\\3 & 6\end{matrix}\right] \right )} = \frac{39}{28}$$
$$x_{2} = \frac{1}{28} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 4\\2 & 3\end{matrix}\right] \right )} = \frac{1}{28}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$3 x - 5 y = 4$$
$$2 x + 6 y = 3$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x - 5 y = 4$$
$$2 x + 6 y = 3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & -5 & 4\\2 & 6 & 3\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & -5 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-10}{3} + 6 & - \frac{8}{3} + 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{28}{3} & \frac{1}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & -5 & 4\\0 & \frac{28}{3} & \frac{1}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-5\\\frac{28}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{28}{3} & \frac{1}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & - \frac{-5}{28} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{117}{28}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{117}{28}\\0 & \frac{28}{3} & \frac{1}{3}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - \frac{117}{28} = 0$$
$$\frac{28 x_{2}}{3} - \frac{1}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{39}{28}$$
$$x_{2} = \frac{1}{28}$$
$$3 x - 5 y = 4$$
$$2 x + 6 y = 3$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x - 5 y = 4$$
$$2 x + 6 y = 3$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & -5 & 4\\2 & 6 & 3\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & -5 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{-10}{3} + 6 & - \frac{8}{3} + 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{28}{3} & \frac{1}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & -5 & 4\\0 & \frac{28}{3} & \frac{1}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-5\\\frac{28}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{28}{3} & \frac{1}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & - \frac{-5}{28} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{117}{28}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{117}{28}\\0 & \frac{28}{3} & \frac{1}{3}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - \frac{117}{28} = 0$$
$$\frac{28 x_{2}}{3} - \frac{1}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{39}{28}$$
$$x_{2} = \frac{1}{28}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 1.392857142857143 y1 = 0.03571428571428571